İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 44, 11, 37, 53, 42.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 147,5 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 170σ = 15x = 147,5

z =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 3 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 3

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X + 20. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,1, 0,15, 0,2, 0,25Y = 5X + 20

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0322 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,0322

z =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,02 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

9 birimlik bir örneklemin ortalaması 99,5 ve standart sapması s = 18. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 9x̄ = 99,5s = 1899%t(8) = 3,355

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 28. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 28E = 0,599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 72,3, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 75x̄ = 72,3s = 15n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 80 hastadan 40’i, B tedavisi alan 80 hastadan 30’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 40n₁ = 80x₂ = 30n₂ = 80

z =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 45) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(4,5, 45)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,85

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 187/5 = 37,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 6,6² + (−26,4)² + (−0,4)² + 15,6² + 4,6² = 1005

Standart sapma

s = √(1005/4) = 15,85

Cevap

s = 15,85

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,5

Standartlaştırın

z = (147,5 − 170)/15 = −1,5

Cevap

z = −1,5

3.Olasılık

Cevap: P = 0,4213

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Cevap

P = 0,4213

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 7,906

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 3, Var(X) = 2,5, σ_X = 1,581

Doğrusal değişim

σ_Y = |5|·1,581 = 7,906

Cevap

σ_Y = 7,906

Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·3 + 20 = 35.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,85

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,0322 = 0,9678

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9678 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,85

Cevap

z = 1,85

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8264

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264

Cevap

P = 0,8264

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 79,37

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Hata payı

E = 3,355·18/√9 = 20,13

Aralık

99,5 ± 20,13 → [79,37, 119,6]

Cevap

alt sınır = 79,37

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 20810

n'yi çözün

n = (2,576·28/0,5)² = 20810

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 20810

Cevap

n = 20810

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −0,9

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Test istatistiği

t = (72,3 − 75)/3 = −0,9

Cevap

t = −0,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 1,594

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Örneklem oranları

p̂₁ = 40/80 = 0,5

p̂₂ = 30/80 = 0,375

p̂ = 70/160 = 0,4375

H₀ altında standart hata

SE = √(0,4375·0,5625·(1/80 + 1/80)) = 0,07844

Test istatistiği

z = (0,5 − 0,375)/0,07844 = 1,594

Cevap

z = 1,594

|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,7658

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 167/5 = 33,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 22

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 63,2

Belirlilik katsayısı

r² = 22²/(10·63,2) = 0,7658

Cevap

r² = 0,7658

y’deki değişimin yaklaşık %76,58’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −2,171

Ortalamalar

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 318/6 = 53

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102

Regresyon doğrusu

b = 102/17,5 = 5,829

a = 53 − 5,829·5,5 = 20,94

ŷ = 20,94 + 5,829·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 20,94 + 5,829·4,5 = 47,17

Artık

e = 45 − 47,17 = −2,171

Cevap

e = −2,171

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1