Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 56, 40, 28, 13, 11.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 30'ün üstündedir?
μ = 70σ = 20x = 30
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,05, 0,25, 0,2, 0,35
Var(X) =
4.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X + 10. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1Y = 10X + 10
σY =
5.Normal dağılımOrta
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 45,5 ile 83,5 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 65σ = 10x1 = 45,5x2 = 83,5
P =
6.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
50 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %99 güven aralığının hata payı 4,8. 450 gözleme dayanan %90 aralığın hata payı E₂ nedir?
99%n₁ = 50E₁ = 4,890%n₂ = 450
E₂ =
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 7. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 7E = 190%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 120 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 30 olduğu biliniyor. 100 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 123,12. H₀: μ = 120’a karşı H₁: μ ≠ 120 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 120σ = 30n = 100x̄ = 123,12H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 500’a karşı H₁: μ > 500 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,05 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 3 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 500,55’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 500μ = 500,55σ = 3n = 36α = 0,05
β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 35Σy = 345Σx² = 285Σy² = 24515Σxy = 2581
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 13 tahmin eder?
n = 6ŷ = 13
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 18,9
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 148/5 = 29,6
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 26,4² + 10,4² + (−1,6)² + (−16,6)² + (−18,6)² = 1429
Standart sapma
s = √(1429/4) = 18,9
Cevap
s = 18,9
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,9772
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −2
Standart normal tablo
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Cevap
P = 0,9772
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,947
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,15 + 1·0,05 + 2·0,25 + 3·0,2 + 4·0,35 = 2,55
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,15 + 1·0,05 + 4·0,25 + 9·0,2 + 16·0,35 = 8,45
Varyans
Var(X) = 8,45 − 2,55² = 1,947
Cevap
Var(X) = 1,947
4.Olasılık
Cevap: σY = 19,26
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 2,3, Var(X) = 3,71, σX = 1,926
Doğrusal değişim
σY = |10|·1,926 = 19,26
Cevap
σY = 19,26
Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·2,3 + 10 = 33.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9423
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (45,5 − 65)/10 = −1,95
z₂ = (83,5 − 65)/10 = 1,85
Aradaki alan
P = Φ(1,85) − Φ(−1,95) = 0,9678 − 0,02559 = 0,9423
Cevap
P = 0,9423
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8554
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06
Olasılık
P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554
Cevap
P = 0,8554
7.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 1,022
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(50/450) = 0,2129
Yeni hata payı
E₂ = 4,8·0,2129 = 1,022
Cevap
E₂ = 1,022
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 133
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,645·7/1)² = 132,6
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 133
Cevap
n = 133
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,2983
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 30/√100 = 3
z = (123,12 − 120)/3 = 1,04
Kuyruk alanı
Φ(1,04) = 0,8508
1 − Φ(1,04) = 0,1492
p-değeri
p = 2·0,1492 = 0,2983
Cevap
p = 0,2983
p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: β = 70,71 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 3/√36 = 0,5
x̄c = 500 + 1,645·0,5 = 500,8
Gerçek ortalama altında z
z = (500,8 − 500,55)/0,5 = 0,545
II. tip hata
güç = P(Z > 0,545) = 29,29%
β = 100% − 29,29% = 70,71%
Cevap
β = 70,71%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,985
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 2581 − 35·345/5 = 166
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 24515 − 345²/5 = 710
Korelasyon katsayısı
r = 166/√(40·710) = 0,985
Cevap
r = 0,985
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 5,444
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 108/6 = 18
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45
Regresyon doğrusu
b = −45/17,5 = −2,571
a = 18 − (−2,571)·3,5 = 27
ŷ = 27 − 2,571·x
x için çözün
x = (13 − 27)/(−2,571) = 5,444
Cevap
x = 5,444
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1