Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 49, 33, 42, 39, 58.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 50'ün üstündedir?
μ = 60σ = 5x = 50
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,35
Var(X) =
4.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €3. 0,1 olasılıkla €6, 0,05 olasılıkla €60 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €3€6: p = 0,1€60: p = 0,05
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
X ortalaması 250 g, standart sapması 4 g olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 500 g, standart sapması 9 g olan normaldir. X + Y’nin 745,1 g değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 745,1 g
P =
6.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,01 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
15 birimlik bir örneklemin ortalaması 110 ve standart sapması s = 5,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 15x̄ = 110s = 5,590%t(14) = 1,761
alt sınır =
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 14. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 14E = 1,599%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 250 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 7,5 olduğu biliniyor. 25 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 248,23. H₀: μ = 250’a karşı H₁: μ < 250 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 250σ = 7,5n = 25x̄ = 248,23H₁: μ < μ₀
p =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 123,3. Anakütle standart sapması 5. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.
x̄ = 123,3σ = 5n = 1699%
U =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 42Σy = 430Σx² = 364Σy² = 31566Σxy = 3236
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 5 için ŷ tahminini yapın.
n = 6x = 5
ŷ =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 9,628
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 221/5 = 44,2
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 4,8² + (−11,2)² + (−2,2)² + (−5,2)² + 13,8² = 370,8
Standart sapma
s = √(370,8/4) = 9,628
Cevap
s = 9,628
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,9772
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −2
Standart normal tablo
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Cevap
P = 0,9772
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,26
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,35 = 2,8
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,35 = 9,1
Varyans
Var(X) = 9,1 − 2,8² = 1,26
Cevap
Var(X) = 1,26
4.Olasılık
Cevap: E(G) = 0,6 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 3 (p = 0,1), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,85)
Beklenen değer
E(G) = 3·0,1 + 57·0,05 − 3·0,85 = 0,6 €
Cevap
E(G) = 0,6 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,6915
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standartlaştırın
z = (745,1 − 750)/9,849 = −0,5
Üst kuyruk
P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915
Cevap
P = 0,6915
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,983
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12
Olasılık
P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983
Cevap
P = 0,983
7.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 107,5
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Hata payı
E = 1,761·5,5/√15 = 2,501
Aralık
110 ± 2,501 → [107,5, 112,5]
Cevap
alt sınır = 107,5
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 579
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·14/1,5)² = 578
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 579
Cevap
n = 579
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,119
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 7,5/√25 = 1,5
z = (248,23 − 250)/1,5 = −1,18
Kuyruk alanı
Φ(1,18) = 0,8810
1 − Φ(1,18) = 0,1190
p-değeri
p = 0,119
Cevap
p = 0,119
p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: U = 126,5
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 2,576·5/√16 = 3,22
Aralık sınırı
U = 123,3 + 3,22 = 126,5
Cevap
U = 126,5
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9868
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 3236 − 42·430/6 = 226
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 31566 − 430²/6 = 749,3
Korelasyon katsayısı
r = 226/√(70·749,3) = 0,9868
Cevap
r = 0,9868
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 18,72
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 155/6 = 25,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249
Regresyon doğrusu
b = 249/70 = 3,557
a = 25,83 − 3,557·7 = 0,9333
ŷ = 0,9333 + 3,557·x
Tahmin
ŷ = 0,9333 + 3,557·5 = 18,72
Cevap
ŷ = 18,72
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1