İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 35, 12, 41, 31, 57.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 42'ün altındadır?

μ = 50σ = 8x = 42

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,35, 0,25, 0,2

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir testte 9 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,1 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 9p = 0,1k = 3

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9216 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9216

z =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %30 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan30%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 100 telefon, ortalama 40 h, bilinen standart sapma 4 h. Model 2: 40 telefon, ortalama 46,5 h, bilinen standart sapma 15 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 100x̄₁ = 40 hσ₁ = 4 hn₂ = 40x̄₂ = 46,5 hσ₂ = 15 h99%

üst sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 7 parsel, ortalama verim 95 kg, standart sapma 7 kg. Parsel grubu 2: 15 parsel, ortalama 94 kg, standart sapma 6,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 7x̄₁ = 95s₁ = 7n₂ = 15x̄₂ = 94s₂ = 6,595%t(20) = 2,086

alt sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

11 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 0,72 ve farkların standart sapması 3. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 11d̄ = 0,72s_d = 3

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 75,6. Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 75,6σ = 8n = 1690%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 21Σy = 410Σx² = 91Σy² = 28692Σxy = 1542

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2, 29) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(2, 29)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,32

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 176/5 = 35,2

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−0,2)² + (−23,2)² + 5,8² + (−4,2)² + 21,8² = 1065

Standart sapma

s = √(1065/4) = 16,32

Cevap

s = 16,32

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1587

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 104,8

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 10·0,2 + 20·0,35 + 30·0,25 + 40·0,2 = 24,5

Karelerin ortalaması

E(X²) = 100·0,2 + 400·0,35 + 900·0,25 + 1600·0,2 = 705

Varyans

Var(X) = 705 − 24,5² = 104,8

Cevap

Var(X) = 104,8

4.Olasılık

Cevap: P = 0,04464

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 3) = 84·0,1³·0,9⁶ = 84·0,001·0,5314 = 0,04464

Cevap

P = 0,04464

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,76

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9216)/2 = 0,9608

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9608 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,76

Cevap

z = 1,76

6.Normal dağılım

Cevap: x = 70,2 puan

Soldaki alan

Φ(z) = 0,7

Tablodan z

z ≈ 0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 puan

Cevap

x = 70,2 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = −0,3042 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 40 − 46,5 = −6,5

Standart hata

SE = √(4²/100 + 15²/40) = 2,405

Hata payı

E = 2,576·2,405 = 6,196

Aralık

−6,5 ± 6,196 → [−12,7, −0,3042]

Cevap

üst sınır = −0,3042 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −5,353 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (6·7² + 14·6,5²)/20 = 44,27

s_p = 6,654

Hata payı

E = 2,086·6,654·√(1/7 + 1/15) = 6,353

Aralık

1 ± 6,353 → [−5,353, 7,353]

Cevap

alt sınır = −5,353 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,796

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 3/√11 = 0,9045

Test istatistiği

t = 0,72/0,9045 = 0,796

Cevap

t = 0,796

df = 10 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,228; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 72,31

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·8/√16 = 3,29

Aralık sınırı

L = 75,6 − 3,29 = 72,31

Cevap

L = 72,31

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9843

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 1542 − 21·410/6 = 107

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 28692 − 410²/6 = 675,3

Korelasyon katsayısı

r = 107/√(17,5·675,3) = 0,9843

Cevap

r = 0,9843

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 3,8

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 159/5 = 31,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

Regresyon doğrusu

b = 88/40 = 2,2

a = 31,8 − 2,2·5 = 20,8

ŷ = 20,8 + 2,2·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 20,8 + 2,2·2 = 25,2

Artık

e = 29 − 25,2 = 3,8

Cevap

e = 3,8

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1