İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 22, 32, 57, 57, 39, 28.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 85'ün üstündedir?

μ = 100σ = 15x = 85

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,3, 0,1, 0,2, 0,35

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €5. 0,25 olasılıkla €20, 0,02 olasılıkla €50 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €5€20: p = 0,25€50: p = 0,02

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,8638 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,8638

z =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %95 olan x değerini bulun (95. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

11 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 2,4 ve standart sapması 6,9. Ortalama fark için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 11d̄ = 2,4s_d = 6,995%t(10) = 2,228

E = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 27. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 27E = 2,590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

10 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 3,45 ve farkların standart sapması 3,9. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 10d̄ = 3,45s_d = 3,9

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 197,5. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 197,5σ = 20n = 6490%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 9 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 9

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,88

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 235/6 = 39,17

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−17,17)² + (−7,167)² + 17,83² + 17,83² + (−0,1667)² + (−11,17)² = 1107

Standart sapma

s = √(1107/5) = 14,88

Cevap

s = 14,88

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8413

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,85

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,1 + 4·0,2 + 5·0,35 = 3,5

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,1 + 16·0,2 + 25·0,35 = 14,1

Varyans

Var(X) = 14,1 − 3,5² = 1,85

Cevap

Var(X) = 1,85

4.Olasılık

Cevap: E(G) = 1 €

Net sonuçlar

G: 15 (p = 0,25), 45 (p = 0,02), −5 (p = 0,73)

Beklenen değer

E(G) = 15·0,25 + 45·0,02 − 5·0,73 = 1 €

Cevap

E(G) = 1 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,49

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,8638)/2 = 0,9319

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9319 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,49

Cevap

z = 1,49

6.Normal dağılım

Cevap: x = 41,87 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

x’e geri dönüş

x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min

Cevap

x = 41,87 min

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 4,635 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 10, t = 2,228

Hata payı

E = 2,228·6,9/√11 = 4,635

Cevap

E = 4,635 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 316

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·27/2,5)² = 315,6

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 316

Cevap

n = 316

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,797

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 3,9/√10 = 1,233

Test istatistiği

t = 3,45/1,233 = 2,797

Cevap

t = 2,797

df = 9 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,262; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 201,6

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·20/√64 = 4,112

Aralık sınırı

U = 197,5 + 4,112 = 201,6

Cevap

U = 201,6

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9736

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 355/6 = 59,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 323

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1531

Belirlilik katsayısı

r² = 323²/(70·1531) = 0,9736

Cevap

r² = 0,9736

y’deki değişimin yaklaşık %97,36’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 20,73

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 98/6 = 16,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

Regresyon doğrusu

b = 154/70 = 2,2

a = 16,33 − 2,2·7 = 0,9333

ŷ = 0,9333 + 2,2·x

Tahmin

ŷ = 0,9333 + 2,2·9 = 20,73

Cevap

ŷ = 20,73

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1