İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 11, 21, 29, 24, 11, 23.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 90 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 20x = 90

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,35

σ =

4.OlasılıkZor

Bir testte 7 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,3 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 7p = 0,3k = 3

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,1423 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,1423

z =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %75 olan x değerini bulun (75. yüzdelik).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 83,5 h, bilinen standart sapma 16 h. Model 2: 100 telefon, ortalama 93 h, bilinen standart sapma 17 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 30x̄₁ = 83,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 100x̄₂ = 93 hσ₂ = 17 h99%

alt sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 14 parsel, ortalama verim 27,5 kg, standart sapma 5 kg. Parsel grubu 2: 12 parsel, ortalama 27 kg, standart sapma 8 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 14x̄₁ = 27,5s₁ = 5n₂ = 12x̄₂ = 27s₂ = 890%t(24) = 1,711

üst sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 48,25, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 50x̄ = 48,25s = 5n = 16

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 4. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 4E = 2,599%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 19 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 19

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 7,333

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 119/6 = 19,83

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,833)² + 1,167² + 9,167² + 4,167² + (−8,833)² + 3,167² = 268,8

Standart sapma

s = √(268,8/5) = 7,333

Cevap

s = 7,333

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −0,5

Standartlaştırın

z = (90 − 100)/20 = −0,5

Cevap

z = −0,5

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,122

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,2 + 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,35 = 1,8

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,35 = 4,5

Varyans

Var(X) = 4,5 − 1,8² = 1,26

σ = √1,26 = 1,122

Cevap

σ = 1,122

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2269

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 3) = 35·0,3³·0,7⁴ = 35·0,027·0,2401 = 0,2269

Cevap

P = 0,2269

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,07

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,1423 = 0,8577

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,8577 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,07

Cevap

z = 1,07

6.Normal dağılım

Cevap: x = 527 h

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

x’e geri dönüş

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Cevap

x = 526,98 h

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −18,21 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 83,5 − 93 = −9,5

Standart hata

SE = √(16²/30 + 17²/100) = 3,38

Hata payı

E = 2,576·3,38 = 8,706

Aralık

−9,5 ± 8,706 → [−18,21, −0,7935]

Cevap

alt sınır = −18,21 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 4,907 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (13·5² + 11·8²)/24 = 42,88

s_p = 6,548

Hata payı

E = 1,711·6,548·√(1/14 + 1/12) = 4,407

Aralık

0,5 ± 4,407 → [−3,907, 4,907]

Cevap

üst sınır = 4,907 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,4

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Test istatistiği

t = (48,25 − 50)/1,25 = −1,4

Cevap

t = −1,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 17

n'yi çözün

n = (2,576·4/2,5)² = 16,99

Yukarı yuvarlayın

n = 17

Cevap

n = 17

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9189

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 240/6 = 40

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 408

Belirlilik katsayısı

r² = 81²/(17,5·408) = 0,9189

Cevap

r² = 0,9189

y’deki değişimin yaklaşık %91,89’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 62,6

Ortalamalar

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 388/5 = 77,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 200

Regresyon doğrusu

b = 200/40 = 5

a = 77,6 − 5·22 = −32,4

ŷ = −32,4 + 5·x

Tahmin

ŷ = −32,4 + 5·19 = 62,6

Cevap

ŷ = 62,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1