İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 28, 29, 30, 30, 18, 22.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 88,75'ün altındadır?

μ = 70σ = 15x = 88,75

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,1, 0,3

Var(X) =

4.OlasılıkZor

6 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,6 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,6

P =

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 167,15 ile 186,4 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,15x₂ = 186,4

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %30 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan30%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

13 birimlik bir örneklemin ortalaması 57,5 ve standart sapması s = 11. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 13x̄ = 57,5s = 1190%t(12) = 1,782

E =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 21 milin çaplarının örneklem standart sapması 0,8 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 20 ile χ² dağılımının %2,5’i 9,591 değerinin altında, %2,5’i 34,17 değerinin üstündedir.

n = 21s = 0,8 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 50,96, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 50x̄ = 50,96s = 4n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 8. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 8E = 195%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 59Σx² = 220Σy² = 873Σxy = 434

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 41 tahmin eder?

n = 6ŷ = 41

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 4,997

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 157/6 = 26,17

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 1,833² + 2,833² + 3,833² + 3,833² + (−8,167)² + (−4,167)² = 124,8

Standart sapma

s = √(124,8/5) = 4,997

Cevap

s = 4,997

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8944

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Cevap

P = 0,8944

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 152,8

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,1 + 40·0,3 = 23,5

Karelerin ortalaması

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,1 + 1600·0,3 = 705

Varyans

Var(X) = 705 − 23,5² = 152,8

Cevap

Var(X) = 152,8

4.Olasılık

Cevap: P = 0,04096

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,4⁶ = 0,004096

P(X = 1) = 6·0,6·0,4⁵ = 0,03686

Toplayın

P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096

Cevap

P = 0,04096

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8244

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (167,15 − 178)/7 = −1,55

z₂ = (186,4 − 178)/7 = 1,2

Aradaki alan

P = Φ(1,2) − Φ(−1,55) = 0,8849 − 0,06057 = 0,8244

Cevap

P = 0,8244

6.Normal dağılım

Cevap: x = 70,2 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,7

Tablodan z

z ≈ 0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 puan

Cevap

x = 70,2 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 5,437

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Hata payı

E = 1,782·11/√13 = 5,437

Cevap

E = 5,437

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 1,155 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 20·0,8² = 12,8

σ² için sınırlar

12,8/34,17 = 0,3746

12,8/9,591 = 1,335

σ için sınır

σ = √1,335 = 1,155 µm

Cevap

σ = 1,155 µm

σ için %95 aralık: [0,612, 1,155] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,2

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Test istatistiği

t = (50,96 − 50)/0,8 = 1,2

Cevap

t = 1,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 246

n'yi çözün

n = (1,96·8/1)² = 245,9

Yukarı yuvarlayın

n = 246

Cevap

n = 246

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9513

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 434 − 30·59/5 = 80

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 873 − 59²/5 = 176,8

Korelasyon katsayısı

r = 80/√(40·176,8) = 0,9513

Cevap

r = 0,9513

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 11,08

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 160/6 = 26,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246

Regresyon doğrusu

b = 246/70 = 3,514

a = 26,67 − 3,514·7 = 2,067

ŷ = 2,067 + 3,514·x

x için çözün

x = (41 − 2,067)/3,514 = 11,08

Cevap

x = 11,08

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1