İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 21, 17, 22, 21, 47, 53, 39.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 60,4'ün altındadır?

μ = 70σ = 8x = 60,4

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X − 3. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 3X − 3

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 250 g, standart sapması 4 g olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 500 g, standart sapması 9 g olan normaldir. X + Y’nin 740,2 g değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 740,2 g

P =

6.Normal dağılımZor

A koşucusunun tur süresi X ve B koşucusunun tur süresi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 52 s, standart sapması 4 s; Y’nin ortalaması 48 s, standart sapması 3 s’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Güven aralıklarıOrta

13 birimlik bir örneklemin ortalaması 86 ve standart sapması s = 10,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 13x̄ = 86s = 10,599%t(12) = 3,055

E =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 39. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 4 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 39E = 499%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 6 öğrenci, ortalama puan 56,5, standart sapma 5. Grup 2: 20 öğrenci, ortalama puan 66,3, standart sapma 9,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 6x̄₁ = 56,5s₁ = 5n₂ = 20x̄₂ = 66,3s₂ = 9,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 113,8. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 113,8σ = 20n = 6490%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 53 tahmin eder?

n = 5ŷ = 53

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,6

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 220/7 = 31,43

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−10,43)² + (−14,43)² + (−9,429)² + (−10,43)² + 15,57² + 21,57² + 7,571² = 1280

Standart sapma

s = √(1280/6) = 14,6

Cevap

s = 14,6

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1151

Standartlaştırın

z = −1,2

Standart normal tablo

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Cevap

P = 0,1151

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 0,6475

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Varyans

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Cevap

Var(X) = 0,6475

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 2,414

X’in yayılımı

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Doğrusal değişim

σ_Y = |3|·0,8047 = 2,414

Cevap

σ_Y = 2,414

Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·1,05 − 3 = 0,15.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8413

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartlaştırın

z = (740,2 − 750)/9,849 = −1

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7881

Farkın dağılımı

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standartlaştırın

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Cevap

P = 0,7881

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 8,897

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Hata payı

E = 3,055·10,5/√13 = 8,897

Cevap

E = 8,897

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 631

n'yi çözün

n = (2,576·39/4)² = 630,8

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 631

Cevap

n = 631

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,405

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (5·5² + 19·9,5²)/24 = 76,66

s_p = 8,755

Standart hata

SE = 8,755·√(1/6 + 1/20) = 4,075

Test istatistiği

t = (56,5 − 66,3)/4,075 = −2,405

Cevap

t = −2,405

df = 24 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,064; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 109,7

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·20/√64 = 4,112

Aralık sınırı

L = 113,8 − 4,112 = 109,7

Cevap

L = 109,7

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9061

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 324/5 = 64,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 140,8

Korelasyon katsayısı

r = 34/√(10·140,8) = 0,9061

Cevap

r = 0,9061

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 6,2

Ortalamalar

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 273/5 = 54,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

Regresyon doğrusu

b = 80/40 = 2

a = 54,6 − 2·7 = 40,6

ŷ = 40,6 + 2·x

x için çözün

x = (53 − 40,6)/2 = 6,2

Cevap

x = 6,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1