İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 23, 54, 25, 28, 57, 11, 47.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 64 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 60σ = 10x = 64

z =

3.OlasılıkOrta

6 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 6k = 3

N =

4.OlasılıkZor

Bir testte 11 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,3 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 11p = 0,3k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 9 tanesinin toplam kütlesinin 819 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 819 kg

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %20 olan x değerini bulun (20. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 60 telefon, ortalama 40,5 h, bilinen standart sapma 5 h. Model 2: 50 telefon, ortalama 54 h, bilinen standart sapma 12 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 60x̄₁ = 40,5 hσ₁ = 5 hn₂ = 50x̄₂ = 54 hσ₂ = 12 h99%

üst sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,04 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p = 0,5E = 0,0495%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 10 öğrenci, ortalama puan 90, standart sapma 4. Grup 2: 6 öğrenci, ortalama puan 96,9, standart sapma 3,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 10x̄₁ = 90s₁ = 4n₂ = 6x̄₂ = 96,9s₂ = 3,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 20. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 20E = 299%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 89Σx² = 220Σy² = 1911Σxy = 648

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 4,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 17,6

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 245/7 = 35

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−12)² + 19² + (−10)² + (−7)² + 22² + (−24)² + 12² = 1858

Standart sapma

s = √(1858/6) = 17,6

Cevap

s = 17,6

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,4

Standartlaştırın

z = (64 − 60)/10 = 0,4

Cevap

z = 0,4

3.Olasılık

Cevap: N = 20

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Cevap

N = 20

4.Olasılık

Cevap: P = 0,1998

Binom formülü

P(X = 2) = 55·0,3²·0,7⁹ = 55·0,09·0,04035 = 0,1998

Cevap

P = 0,1998

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,06681

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

Standartlaştırın

z = (819 − 765)/36 = 1,5

Olasılık

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

6.Normal dağılım

Cevap: x = 172,1 cm

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

x’e geri dönüş

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Cevap

x = 172,11 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = −8,823 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 40,5 − 54 = −13,5

Standart hata

SE = √(5²/60 + 12²/50) = 1,816

Hata payı

E = 2,576·1,816 = 4,677

Aralık

−13,5 ± 4,677 → [−18,18, −8,823]

Cevap

üst sınır = −8,823 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 601

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2

Yukarı yuvarlayın

n = 601

Cevap

n = 601

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −3,49

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (9·4² + 5·3,5²)/14 = 14,66

s_p = 3,829

Standart hata

SE = 3,829·√(1/10 + 1/6) = 1,977

Test istatistiği

t = (90 − 96,9)/1,977 = −3,49

Cevap

t = −3,49

df = 14 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,145; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 664

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (2,576·20/2)² = 663,6

Yukarı yuvarlayın

n = 664

Cevap

n = 664

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9971

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 648 − 30·89/5 = 114

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1911 − 89²/5 = 326,8

Korelasyon katsayısı

r = 114/√(40·326,8) = 0,9971

Cevap

r = 0,9971

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 11,35

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 83/5 = 16,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35

Regresyon doğrusu

b = −35/10 = −3,5

a = 16,6 − (−3,5)·3 = 27,1

ŷ = 27,1 − 3,5·x

Tahmin

ŷ = 27,1 + (−3,5)·4,5 = 11,35

Cevap

ŷ = 11,35

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1