Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 50, 37, 27, 56, 12, 50.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 53,6'ün altındadır?
μ = 60σ = 8x = 53,6
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,3, 0,15, 0,1, 0,15
σ =
4.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X + 20. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,3Y = 2X + 20
σY =
5.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9090 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,9090
z =
6.Normal dağılımZor
torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %75 olan x değerini bulun (75. yüzdelik).
μ = 250σ = 5P = 75%
x = g
7.Güven aralıklarıOrta
8 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 6,6 ve standart sapması 0,5. Ortalama fark için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 8d̄ = 6,6sd = 0,595%t(7) = 2,365
E = mmHg
8.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 14 parsel, ortalama verim 55 kg, standart sapma 2 kg. Parsel grubu 2: 17 parsel, ortalama 43,5 kg, standart sapma 3 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 14x̄₁ = 55s₁ = 2n₂ = 17x̄₂ = 43,5s₂ = 390%t(29) = 1,699
üst sınır = kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 56,38, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 50x̄ = 56,38s = 15n = 16
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 200’a karşı H₁: μ < 200 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 197.8’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 200μ = 197,8σ = 5n = 25α = 0,01
1 − β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3,5, 29) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(3,5, 29)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 16,78
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 232/6 = 38,67
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 11,33² + (−1,667)² + (−11,67)² + 17,33² + (−26,67)² + 11,33² = 1407
Standart sapma
s = √(1407/5) = 16,78
Cevap
s = 16,78
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,2119
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −0,8
Standart normal tablo
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Cevap
P = 0,2119
3.Olasılık
Cevap: σ = 1,396
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,1 + 5·0,15 = 2,5
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,1 + 25·0,15 = 8,2
Varyans
Var(X) = 8,2 − 2,5² = 1,95
σ = √1,95 = 1,396
Cevap
σ = 1,396
4.Olasılık
Cevap: σY = 4,8
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 3,2, Var(X) = 5,76, σX = 2,4
Doğrusal değişim
σY = |2|·2,4 = 4,8
Cevap
σY = 4,8
Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·3,2 + 20 = 26,4.
5.Normal dağılım
Cevap: z = 1,69
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,9090)/2 = 0,9545
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,9545 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 1,69
Cevap
z = 1,69
6.Normal dağılım
Cevap: x = 253,4 g
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
x’e geri dönüş
x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g
Cevap
x = 253,37 g
7.Güven aralıkları
Cevap: E = 0,4181 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 7, t = 2,365
Hata payı
E = 2,365·0,5/√8 = 0,4181
Cevap
E = 0,4181 mmHg
8.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 13,09 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (13·2² + 16·3²)/29 = 6,759
sp = 2,6
Hata payı
E = 1,699·2,6·√(1/14 + 1/17) = 1,594
Aralık
11,5 ± 1,594 → [9,906, 13,09]
Cevap
üst sınır = 13,09 kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,701
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Test istatistiği
t = (56,38 − 50)/3,75 = 1,701
Cevap
t = 1,701
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 44,99 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 200 − 2,326·1 = 197,7
Gerçek ortalama altında z
z = (197,7 − 197,8)/1 = −0,126
Güç
güç = P(Z < −0.126) = 44.99%
1 − β = 44,99%
Cevap
1 − β = 44,99%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,84
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 247/5 = 49,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Syy = Σ(y − ȳ)² = 383,2
Korelasyon katsayısı
r = 104/√(40·383,2) = 0,84
Cevap
r = 0,84
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 5,1
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 122/5 = 24,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −10
Regresyon doğrusu
b = −10/10 = −1
a = 24,4 − (−1)·3 = 27,4
ŷ = 27,4 − 1·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 27,4 + (−1)·3,5 = 23,9
Artık
e = 29 − 23,9 = 5,1
Cevap
e = 5,1
Nokta doğrunun üstündedir.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1