Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 56, 36, 40, 51, 36.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 32'ün altındadır?
μ = 50σ = 15x = 32
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,05, 0,3, 0,1, 0,35
Var(X) =
4.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €5. 0,15 olasılıkla €25, 0,01 olasılıkla €250 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €5€25: p = 0,15€250: p = 0,01
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 174,85 ile 179,4 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 178σ = 7x1 = 174,85x2 = 179,4
P =
6.Normal dağılımZor
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %20 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 178 cmσ = 7 cm20%
x = cm
7.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 100 telefon, ortalama 141 h, bilinen standart sapma 14 h. Model 2: 80 telefon, ortalama 145,5 h, bilinen standart sapma 4 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 100x̄₁ = 141 hσ₁ = 14 hn₂ = 80x̄₂ = 145,5 hσ₂ = 4 h90%
üst sınır = h
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 32. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 32E = 1,590%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 100 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 12 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 98,4. H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 100σ = 12n = 144x̄ = 98,4H₁: μ < μ₀
p =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
25 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 79,4. Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.
x̄ = 79,4σ = 10n = 2595%
L =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 27 tahmin eder?
n = 6ŷ = 27
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 9,176
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 219/5 = 43,8
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 12,2² + (−7,8)² + (−3,8)² + 7,2² + (−7,8)² = 336,8
Standart sapma
s = √(336,8/4) = 9,176
Cevap
s = 9,176
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,1151
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −1,2
Standart normal tablo
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Cevap
P = 0,1151
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 2,227
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,2 + 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,1 + 4·0,35 = 2,35
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,1 + 16·0,35 = 7,75
Varyans
Var(X) = 7,75 − 2,35² = 2,227
Cevap
Var(X) = 2,227
4.Olasılık
Cevap: E(G) = 1,25 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 20 (p = 0,15), 245 (p = 0,01), −5 (p = 0,84)
Beklenen değer
E(G) = 20·0,15 + 245·0,01 − 5·0,84 = 1,25 €
Cevap
E(G) = 1,25 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,2529
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45
z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2
Aradaki alan
P = Φ(0,2) − Φ(−0,45) = 0,5793 − 0,3264 = 0,2529
Cevap
P = 0,2529
6.Normal dağılım
Cevap: x = 172,1 cm
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,2
Tablodan z
z ≈ −0,84
Özgün birimlere geri dönüş
x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm
Cevap
x = 172,1 cm
7.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = −2,082 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 141 − 145,5 = −4,5
Standart hata
SE = √(14²/100 + 4²/80) = 1,47
Hata payı
E = 1,645·1,47 = 2,418
Aralık
−4,5 ± 2,418 → [−6,918, −2,082]
Cevap
üst sınır = −2,082 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 1232
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,645·32/1,5)² = 1232
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 1232
Cevap
n = 1232
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,0548
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 12/√144 = 1
z = (98,4 − 100)/1 = −1,6
Kuyruk alanı
Φ(1,6) = 0,9452
1 − Φ(1,6) = 0,0548
p-değeri
p = 0,0548
Cevap
p = 0,0548
p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: L = 75,48
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,96·10/√25 = 3,92
Aralık sınırı
L = 79,4 − 3,92 = 75,48
Cevap
L = 75,48
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9505
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 199/5 = 39,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108
Syy = Σ(y − ȳ)² = 306,8
Belirlilik katsayısı
r² = 108²/(40·306,8) = 0,9505
Cevap
r² = 0,9505
y’deki değişimin yaklaşık %95,05’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 10,98
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 106/6 = 17,67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164
Regresyon doğrusu
b = 164/70 = 2,343
a = 17,67 − 2,343·7 = 1,267
ŷ = 1,267 + 2,343·x
x için çözün
x = (27 − 1,267)/2,343 = 10,98
Cevap
x = 10,98
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1