İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 16, 56, 35, 17, 53.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 77,5'ün altındadır?

μ = 70σ = 5x = 77,5

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,25, 0,35, 0,15, 0,2

σ =

4.OlasılıkZor

8 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,7 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 8p = 0,7

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,8262 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,8262

z =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %80 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan80%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 114,5 h, bilinen standart sapma 7 h. Model 2: 40 telefon, ortalama 124,5 h, bilinen standart sapma 4 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 30x̄₁ = 114,5 hσ₁ = 7 hn₂ = 40x̄₂ = 124,5 hσ₂ = 4 h95%

üst sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 29. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 4 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 29E = 490%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 50 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 36 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 54,32. H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ ≠ 50 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 50σ = 36n = 144x̄ = 54,32H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 1,5 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 17. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 80%δ = 1,5σ = 17z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 35 tahmin eder?

n = 6ŷ = 35

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 19,03

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 177/5 = 35,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−19,4)² + 20,6² + (−0,4)² + (−18,4)² + 17,6² = 1449

Standart sapma

s = √(1449/4) = 19,03

Cevap

s = 19,03

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,9332

Standartlaştırın

z = 1,5

Standart normal tablo

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Cevap

P = 0,9332

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,166

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,05 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,2 = 2,2

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,2 = 6,2

Varyans

Var(X) = 6,2 − 2,2² = 1,36

σ = √1,36 = 1,166

Cevap

σ = 1,166

4.Olasılık

Cevap: P = 0,00129

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,3⁸ = 6,561 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 8·0,7·0,3⁷ = 0,001225

Toplayın

P = 6,561 × 10⁻⁵ + 0,001225 = 0,00129

Cevap

P = 0,00129

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,36

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,8262)/2 = 0,9131

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9131 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,36

Cevap

z = 1,36

6.Normal dağılım

Cevap: x = 73,4 puan

Soldaki alan

Φ(z) = 0,8

Tablodan z

z ≈ 0,84

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 + 0,84·10 = 73,4 puan

Cevap

x = 73,4 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = −7,205 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 114,5 − 124,5 = −10

Standart hata

SE = √(7²/30 + 4²/40) = 1,426

Hata payı

E = 1,96·1,426 = 2,795

Aralık

−10 ± 2,795 → [−12,79, −7,205]

Cevap

üst sınır = −7,205 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 143

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·29/4)² = 142,2

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 143

Cevap

n = 143

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,1499

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 36/√144 = 3

z = (54,32 − 50)/3 = 1,44

Kuyruk alanı

Φ(1,44) = 0,9251

1 − Φ(1,44) = 0,0749

p-değeri

p = 2·0,0749 = 0,1499

Cevap

p = 0,1499

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 795

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 0,842)·17/1,5)² = 794,5

Yukarı yuvarlayın

n = 795

Cevap

n = 795

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,8915

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 346/5 = 69,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 254,8

Korelasyon katsayısı

r = 45/√(10·254,8) = 0,8915

Cevap

r = 0,8915

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 2,036

Ortalamalar

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 316/6 = 52,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 312

Regresyon doğrusu

b = 312/70 = 4,457

a = 52,67 − 4,457·6 = 25,92

ŷ = 25,92 + 4,457·x

x için çözün

x = (35 − 25,92)/4,457 = 2,036

Cevap

x = 2,036

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1