İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 12, 50, 40, 31, 59, 59, 38.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 170 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. 180 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 170σ = 5x = 180

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,25, 0,35, 0,25

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 0,5X − 3. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,1, 0,1, 0,3Y = 0,5X − 3

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9676 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9676

z =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

10 birimlik bir örneklemin ortalaması 66,5 ve standart sapması s = 18,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 10x̄ = 66,5s = 18,595%t(9) = 2,262

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 16. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 16E = 2,599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 50 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 8 olduğu biliniyor. 64 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 47,8. H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ < 50 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 50σ = 8n = 64x̄ = 47,8H₁: μ < μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 507,7. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 507,7σ = 20n = 4990%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 114Σy = 414Σx² = 2236Σy² = 30036Σxy = 8178

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 18 tahmin eder?

n = 6ŷ = 18

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,73

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 289/7 = 41,29

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−29,29)² + 8,714² + (−1,286)² + (−10,29)² + 17,71² + 17,71² + (−3,286)² = 1679

Standart sapma

s = √(1679/6) = 16,73

Cevap

s = 16,73

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 2

Standartlaştırın

z = (180 − 170)/5 = 2

Cevap

z = 2

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 4,04

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,15 + 2·0,25 + 4·0,35 + 6·0,25 = 3,4

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,25 + 16·0,35 + 36·0,25 = 15,6

Varyans

Var(X) = 15,6 − 3,4² = 4,04

Cevap

Var(X) = 4,04

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 0,8201

X’in yayılımı

μ = 1,9, Var(X) = 2,69, σ_X = 1,64

Doğrusal değişim

σ_Y = |0,5|·1,64 = 0,8201

Cevap

σ_Y = 0,8201

Ortalama ise kayar: E(Y) = 0,5·1,9 − 3 = −2,05.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 2,14

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9676)/2 = 0,9838

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9838 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 2,14

Cevap

z = 2,14

6.Normal dağılım

Cevap: x = 52,18 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

x’e geri dönüş

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 puan

Cevap

x = 52,18 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 79,73

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Hata payı

E = 2,262·18,5/√10 = 13,23

Aralık

66,5 ± 13,23 → [53,27, 79,73]

Cevap

üst sınır = 79,73

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 272

n'yi çözün

n = (2,576·16/2,5)² = 271,8

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 272

Cevap

n = 272

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,0139

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 8/√64 = 1

z = (47,8 − 50)/1 = −2,2

Kuyruk alanı

Φ(2,2) = 0,9861

1 − Φ(2,2) = 0,0139

p-değeri

p = 0,0139

Cevap

p = 0,0139

p ≤ 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 512,4

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·20/√49 = 4,7

Aralık sınırı

U = 507,7 + 4,7 = 512,4

Cevap

U = 512,4

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9726

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 8178 − 114·414/6 = 312

S_xx = 2236 − 114²/6 = 70

S_yy = 30036 − 414²/6 = 1470

Korelasyon katsayısı

r = 312/√(70·1470) = 0,9726

Cevap

r = 0,9726

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 7,543

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 100/6 = 16,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

Regresyon doğrusu

b = 172/70 = 2,457

a = 16,67 − 2,457·7 = −0,5333

ŷ = −0,5333 + 2,457·x

x için çözün

x = (18 − (−0,5333))/2,457 = 7,543

Cevap

x = 7,543

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1