İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 53, 44, 58, 49, 26, 20.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 130 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 20x = 130

z =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 7 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 7

P =

4.OlasılıkZor

9 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,25 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 9p = 0,25

P =

5.Normal dağılımOrta

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 247,5 ile 251 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 250σ = 5x₁ = 247,5x₂ = 251

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 80%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

16 birimlik bir örneklemin ortalaması 67,5 ve standart sapması s = 12. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 16x̄ = 67,5s = 1299%t(15) = 2,947

E =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 8 parsel, ortalama verim 16,5 kg, standart sapma 6 kg. Parsel grubu 2: 6 parsel, ortalama 27 kg, standart sapma 6,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 8x̄₁ = 16,5s₁ = 6n₂ = 6x̄₂ = 27s₂ = 6,595%t(12) = 2,179

E = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 203,9, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 203,9s = 15n = 64

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 2,5 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 12. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 90%δ = 2,5σ = 12z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 18 tahmin eder?

n = 5ŷ = 18

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,29

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 250/6 = 41,67

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 11,33² + 2,333² + 16,33² + 7,333² + (−15,67)² + (−21,67)² = 1169

Standart sapma

s = √(1169/5) = 15,29

Cevap

s = 15,29

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 1,5

Standartlaştırın

z = (130 − 100)/20 = 1,5

Cevap

z = 1,5

3.Olasılık

Cevap: P = 0,7209

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Cevap

P = 0,7209

4.Olasılık

Cevap: P = 0,3003

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,75⁹ = 0,07508

P(X = 1) = 9·0,25·0,75⁸ = 0,2253

Toplayın

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

Cevap

P = 0,3003

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,2707

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (247,5 − 250)/5 = −0,5

z₂ = (251 − 250)/5 = 0,2

Aradaki alan

P = Φ(0,2) − Φ(−0,5) = 0,5793 − 0,3085 = 0,2707

Cevap

P = 0,2707

6.Normal dağılım

Cevap: x = 73,42 puan

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

x’e geri dönüş

x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 puan

Cevap

x = 73,42 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 8,841

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Hata payı

E = 2,947·12/√16 = 8,841

Cevap

E = 8,841

8.Güven aralıkları

Cevap: E = 7,312 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (7·6² + 5·6,5²)/12 = 38,6

s_p = 6,213

Hata payı

E = 2,179·6,213·√(1/8 + 1/6) = 7,312

Cevap

E = 7,312 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,08

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Test istatistiği

t = (203,9 − 200)/1,875 = 2,08

Cevap

t = 2,08

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 198

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,282)·12/2,5)² = 197,4

Yukarı yuvarlayın

n = 198

Cevap

n = 198

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9701

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 61,2

Korelasyon katsayısı

r = −24/√(10·61,2) = −0,9701

Cevap

r = −0,9701

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 4,391

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 106/5 = 21,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

Regresyon doğrusu

b = −23/10 = −2,3

a = 21,2 − (−2,3)·3 = 28,1

ŷ = 28,1 − 2,3·x

x için çözün

x = (18 − 28,1)/(−2,3) = 4,391

Cevap

x = 4,391

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1