İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 58, 19, 22, 17, 12, 58.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 63,6'ün üstündedir?

μ = 70σ = 8x = 63,6

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,15, 0,15, 0,1

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir testte 6 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,25 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,25k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 27,2 ile 38 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,2x₂ = 38

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %25 olan x değerini bulun (25. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

30 birimlik bir örneklemin ortalaması 27,5 ve standart sapması s = 11. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 30x̄ = 27,5s = 1199%t(29) = 2,756

E =

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,7 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,02 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,7E = 0,0295%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 50 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 57 mm ve hattın bilinen standart sapması 7 mm. Hat 2: 60 parçalık bir örneklemin ortalaması 53,4 mm, bilinen standart sapması 17 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.

n₁ = 50x̄₁ = 57 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 60x̄₂ = 53,4 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 300 hastadan 180’i, B tedavisi alan 150 hastadan 71’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 180n₁ = 300x₂ = 71n₂ = 150

z =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 21Σy = 78Σx² = 91Σy² = 1214Σxy = 214

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 12) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(4,5, 12)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 21,17

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 186/6 = 31

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 27² + (−12)² + (−9)² + (−14)² + (−19)² + 27² = 2240

Standart sapma

s = √(2240/5) = 21,17

Cevap

s = 21,17

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,7881

Standartlaştırın

z = −0,8

Standart normal tablo

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Cevap

P = 0,7881

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,65

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,15 + 4·0,1 = 1,5

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,15 + 16·0,1 = 3,9

Varyans

Var(X) = 3,9 − 1,5² = 1,65

Cevap

Var(X) = 1,65

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2966

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 2) = 15·0,25²·0,75⁴ = 15·0,0625·0,3164 = 0,2966

Cevap

P = 0,2966

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6295

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (27,2 − 32)/6 = −0,8

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Aradaki alan

P = Φ(1) − Φ(−0,8) = 0,8413 − 0,2119 = 0,6295

Cevap

P = 0,6295

6.Normal dağılım

Cevap: x = 58,26 puan

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

x’e geri dönüş

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 puan

Cevap

x = 58,26 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 5,535

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Hata payı

E = 2,756·11/√30 = 5,535

Cevap

E = 5,535

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 2017

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,96²·0,7·0,3/0,02² = 2017

Yukarı yuvarlayın

n = 2017

Cevap

n = 2017

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 1,495

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Farkın standart hatası

SE = √(7²/50 + 17²/60) = √5,797 = 2,408

Test istatistiği

z = (57 − 53,4)/2,408 = 1,495

Cevap

z = 1,495

|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 2,55

Örneklem oranları

p̂₁ = 180/300 = 0,6

p̂₂ = 71/150 = 0,4733

p̂ = 251/450 = 0,5578

H₀ altında standart hata

SE = √(0,5578·0,4422·(1/300 + 1/150)) = 0,04967

Test istatistiği

z = (0,6 − 0,4733)/0,04967 = 2,55

Cevap

z = 2,55

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9973

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 214 − 21·78/6 = −59

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 1214 − 78²/6 = 200

Korelasyon katsayısı

r = −59/√(17,5·200) = −0,9973

Cevap

r = −0,9973

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 1,65

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 75/5 = 15

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Regresyon doğrusu

b = −31/10 = −3,1

a = 15 − (−3,1)·3 = 24,3

ŷ = 24,3 − 3,1·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 24,3 + (−3,1)·4,5 = 10,35

Artık

e = 12 − 10,35 = 1,65

Cevap

e = 1,65

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1