Yapı Statiği: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 10 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Konsol kiriş A’da duvara ankastredir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükünü ve duvardan 3,5 m uzaklıkta P tekil yükünü taşır. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

L = 6 mP = 20 kN @ 3,5 mw = 10 kN/m, 0 ile 6 m arasında

M_A = kN·m

2.Kiriş mesnet tepkileriZor

Bileşik bir kiriş A’da duvara ankastredir, C’de (A’dan 6 m) bir iç mafsalı vardır ve D’de (A’dan 10 m) bir kayıcı mesnede oturur. Taşıdığı yükler: A’dan 9 m uzaklıkta bir P tekil yükü. Duvardaki tepki momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

AC = 6 mAD = 10 mP = 45 kN @ 9 m

M_A = kN·m

3.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

50 kN @ 2 m5 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Tüm A–C boyunca düzgün yayılı w yükü etkir. Mesnetler arasındaki en büyük pozitif eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 7 mw = 6 kN/m, 0 ile 7 m arasındamesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında

M_max = kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AB çubuğundaki F_AB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 1 m uzaktadüşey yük = 10 kN

F_AB = kN

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 15 kN ↓D: 40 kN ↓H: 35 kN ↓H: 20 kN ←

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

7.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Ankastre uçtaki eğilme momentinin büyüklüğü M_A değerini bulun.

L = 4 mw = 5 kN/m

M_A = kN·m

9.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 15 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 15 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: M_A = 250 kN·m

Konsol dengesi: ankastre mesnet hem yukarı itebilir hem de dönmeye karşı koyabilir, bu yüzden düşey bir R_A tepkisi ve bir M_A tepki momenti verir. ΣF_y = 0, R_A’yı; duvara göre momentler M_A = Σ(yük × duvara uzaklık) değerini verir. Yayılı yük, yük diyagramının ağırlık merkezinde bileşkesi olarak etkir.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m

Duvara göre moment

M_A = P·a + W·x̄ = 20·3,5 + 60·3 = 250 kN·m

Cevap

M_A = 250 kN·m

2.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: M_A = 67,5 kN·m

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın. Bir iç mafsal eğilme momenti taşıyamaz; bu bir ek denklem verir: her iki taraftaki kuvvetlerin mafsala göre momenti sıfırdır.

CD kısmı

Mafsalda moment yoktur, bu yüzden yalnızca CD üzerindeki C’ye göre momentler dengelenmelidir.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 45·3

R_D = 33,75 kN

V_C = 45 − 33,75 = 11,25 kN

AC kısmı

Mafsal kuvveti V_C, AC üzerinde aşağı doğru etkir (CD üzerindeki etkisine eşit ve zıt).

R_A = 11,25 = 11,25 kN

M_A = 11,25·6 = 67,5 kN·m

Cevap

M_A = 67,5 kN·m

3.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: C (x = 2 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 47,92 kN, R₂ = 27,08 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 45,42, M_C = 85,83 kN·m, M_D = 71,25, M_E = 51,67, M_F = 27,08, M_G = 0

Cevap

İşaret C: M_C = 85,83 kN·m

4.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 25,52 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Çıkmadaki yük dahil tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·7 = 42 kN, x̄ = 3,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·7·3,5

R_B = 147/6 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 24,5 = 17,5 kN

Sıfır kesme kuvveti

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 17,5/6 = 2,917 m

En büyük pozitif moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 17,5²/(2·6) = 25,52 kN·m

Cevap

M_max = 25,52 kN·m

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AB = −9,783 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·1 → C_y = 1,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 1,25 = 8,75 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8,75/0,8944 = −9,783 kN

Cevap

F_AB = −9,783 kN (basınç)

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 15 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 49,5 kN (C), HE: 77,78 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 28,28 kN (C), DG: 28,28 kN (T)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

7.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 2,18 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 2,18 mm

Cevap

δ = 2,18 mm

8.Kiriş sehimi

Cevap: M_A = 10 kN·m

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·4/8 = 7,5 kN

Ankastre uçtaki moment

Yüklerin ve mesnet kuvvetinin A’ya göre momentleri.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 40 − 30 = 10 kN·m

Cevap

M_A = 10 kN·m

9.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 53,71 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1400² = 53712 N = 53,71 kN

Cevap

P_cr = 53,71 kN

10.Kolon burkulması

Cevap: d = 34,18 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 34,18 mm

Cevap

d = 34,18 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 245,7, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis