Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 24, 20, 44, 24, 30, 26.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 75. Яка частка P значень більша за 575?

μ = 500σ = 75x = 575

P =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 14 осіб? Порядок не має значення.

n = 14k = 3

N =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,3, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 11p = 0,3k = 2

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 178 і 190,6 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 190,6

P =

6.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 80% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm80%

x = cm

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 9 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 2,6 і стандартне відхилення 7,8. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 9d̄ = 2,6s_d = 7,895%t(8) = 2,306

E = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Пілотне дослідження показує, що бракованими є приблизно 0,1 виробів. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,05?

p ≈ 0,1E = 0,0599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 75,35 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,35s = 4n = 64

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 81,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 81,6σ = 20n = 4995%

L =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 48Σy = 417Σx² = 454Σy² = 30079Σxy = 3609

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (4,5, 19). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 19)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 8,485

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 168/6 = 28

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−8)² + 16² + (−4)² + 2² + (−2)² = 360

Стандартне відхилення

s = √(360/5) = 8,485

Відповідь

s = 8,485

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

3.Імовірність

Відповідь: N = 364

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364

Відповідь

N = 364

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,1998

Біноміальна формула

P(X = 2) = 55·0,3²·0,7⁹ = 55·0,09·0,04035 = 0,1998

Відповідь

P = 0,1998

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,4641

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8

Площа між

P = Φ(1,8) − Φ(0) = 0,9641 − 0,5 = 0,4641

Відповідь

P = 0,4641

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 183,9 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Відповідь

x = 183,9 cm

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 5,996 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 8, t = 2,306

Похибка оцінки

E = 2,306·7,8/√9 = 5,996

Відповідь

E = 5,996 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 239

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Виразіть n

n = 2,576²·0,1·0,9/0,05² = 238,9

Округліть угору

n = 239

Відповідь

n = 239

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Статистика критерію

t = (75,35 − 75)/0,5 = 0,7

Відповідь

t = 0,7

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 76

Похибка оцінки

E = 1,96·20/√49 = 5,6

Межа інтервалу

L = 81,6 − 5,6 = 76

Відповідь

L = 76

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9849

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 3609 − 48·417/6 = 273

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 30079 − 417²/6 = 1098

Коефіцієнт кореляції

r = 273/√(70·1098) = 0,9849

Відповідь

r = 0,9849

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2,914

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 114/6 = 19

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51

Лінія регресії

b = −51/17,5 = −2,914

a = 19 − (−2,914)·3,5 = 29,2

ŷ = 29,2 − 2,914·x

Прогнозоване значення

ŷ = 29,2 + (−2,914)·4,5 = 16,09

Залишок

e = 19 − 16,09 = 2,914

Відповідь

e = 2,914

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1