Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (√(9x2 − 2x) − 3x).

f(x) = √(9x2 − 2x) − 3xx → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 (1 − cos 4x)/(4x²), де x у радіанах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = −2

Нехай f(x) = ln(3x2 + 4). Знайдіть f′(−2).

f(x) = ln(3x2 + 4)x = −2
f′(−2) =
4.ПохідніСкладна
xy

Нехай f(x) = x3 − 10,5x2 + 36x + 6. Знайдіть x-координату x локального мінімуму.

f(x) = x3 − 10,5x2 + 36x + 6
x =
5.ОптимізаціяСередня
xhxбез кришки

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 13500 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть мінімальну площу поверхні S.

V = 13500 cm³
S = cm²
6.ОптимізаціяСкладна
qP(q)максимум

Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €30 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 400 + 18q + 0,02q² євро. Знайдіть максимальний прибуток P.

p = €30C = 400 + 18q + 0,02q²
P = €
7.ІнтегралиСередня
xy1y = √(4x)

Область під y = √(4x) від x = 0 до x = 1 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (параболоїда).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 1
V =
8.ІнтегралиСкладна
xy2,5y = 5xy = 2x²

Область між прямою y = 5x і параболою y = 2x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = 5xy = 2x²
V =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = −0,3333

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = −2x/(√(9x2 − 2x) + 3x)

Поділіть на x

f(x) = −2/(√(9 + (−2)/x) + 3)

Нехай x → ∞

L = −2/(3 + 3) = −0,3333

Відповідь

L = −0,3333
2.Границі

Відповідь: L = 2

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Перше застосування

4·sin 4x/(8x) → 0/0

Друге застосування

16·cos 4x/8

Підставте x = 0

L = 16/8 = 2

Відповідь

L = 2
3.Похідні

Відповідь: f′(−2) = −0,75

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x2 + 4)

Підставте

f′(−2) = −12/16 = −0,75

Відповідь

f′(−2) = −0,75
4.Похідні

Відповідь: x = 4

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Похідна

f′(x) = 3x2 − 21x + 36 = 3·(x2 − 7x + 12)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 3 або x = 4

Що є що

f″(x) = 6x − 21: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(3) = −3, f″(4) = 3
x = 4

Відповідь

x = 4
5.Оптимізація

Відповідь: S = 2700 cm²

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 54000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Висота й площа

h = 13500/30² = 15 cm
S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Відповідь

S = 2700 cm²

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: P = 1400 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Функція прибутку

P(q) = 30q − (400 + 18q + 0,02q²) = −0,02q2 + 12q − 400

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −0,04 < 0, тож це максимум.

12 − 0,04q = 0 → q = 300

Максимальний прибуток

P = 12·300 − 0,02·300² − 400 = €1400

Відповідь

P = €1400
7.Інтеграли

Відповідь: V = 6,283

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Метод дисків

V = π∫₀1 4x dx

Інтегруйте

V = π·4·1²/2 = 6,283

Відповідь

V = 6,283
8.Інтеграли

Відповідь: V = 163,6

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

5x = 2x² → x = 0, x = 2,5

Метод шайб

V = π∫₀2,5 ((5x)² − (2x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(25·2,5³/3 − 4·2,5⁵/5) = π·52,08 = 163,6

Відповідь

V = 163,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1