Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (3x³ + 6)/(2x³ + 6x + 7).

f(x) = (3x³ + 6)/(2x³ + 6x + 7)x → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = ln(x² + 1). Знайдіть f′(−2).

f(x) = ln(x² + 1)x = −2

f′(−2) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 3x² + 5x − 4 у точці x = −2 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 3x² + 5x − 4x = −2

b =

5.ОптимізаціяСередня

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 4000 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть мінімальну площу поверхні S.

V = 4000 cm³

S = cm²

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 180 − 1q євро за одиницю, а витрати C(q) = 2500 + 40q євро. Знайдіть ціну p, що максимізує прибуток.

p = 180 − 1qC = 2500 + 40q

p = €

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₂⁶ 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 6]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 1 − x² і віссю x.

y = 1 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(3 + 6/x³)/(2 + 6/x² + 7/x³)

Нехай x → ∞

L = 3/2 = 1,5

Відповідь

L = 1,5

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 2

Перше застосування

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

Друге застосування

4·e^2x/2

Підставте x = 0

L = 4·1/2 = 2

Відповідь

L = 2

3.Похідні

Відповідь: f′(−2) = −0,8

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x² + 1)

Підставте

f′(−2) = −4/5 = −0,8

Відповідь

f′(−2) = −0,8

4.Похідні

Відповідь: b = −16

Точка і нахил

f(−2) = −2

f′(x) = 6x + 5 → f′(−2) = −7

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−7)·(−2) = −16

Відповідь

b = −16

5.Оптимізація

Відповідь: S = 1200 cm²

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 16000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Висота й площа

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Відповідь

S = 1200 cm²

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: p = 110 €

Функція прибутку

P(q) = (180 − 1q)·q − (2500 + 40q) = −q² + 140q − 2500

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −2 < 0, тож це максимум.

q = 140/2 = 70

Ціна й прибуток

p = 180 − 1·70 = €110

P = 140·70 − 1·70² − 2500 = €2400

Відповідь

p = €110

7.Інтеграли

Відповідь: I = 4,394

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Первісна

F(x) = 4·ln x

Підставте межі

I = 4·(ln 6 − ln 2) = 4·ln 3 = 4,394

Відповідь

I = 4,394

8.Інтеграли

Відповідь: A = 1,333

Нулі

1 − x² = 0 → x = ±1

Інтегруйте

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Відповідь

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1