Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка: спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності: поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопіталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод: запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для e^x, 1/x, sin і cos.
Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня

Знайдіть границю L = lim_x→∞ (√(9x² + 3x) − 3x).

f(x) = √(9x² + 3x) − 3xx → ∞

L =

2.ГраниціСкладна

Знайдіть границю L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.ПохідніСередня

Нехай f(x) = x·sin(x), x у радіанах. Знайдіть f′(1,5).

f(x) = x·sin(x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.ПохідніСкладна

Дотична до f(x) = 3x² − 5x + 6 у точці x = 3 перетинає вісь y у точці y = b. Знайдіть b.

f(x) = 3x² − 5x + 6x = 3

b =

5.ОптимізаціяСередня

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 13500 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть мінімальну площу поверхні S.

V = 13500 cm³

S = cm²

6.ОптимізаціяСкладна

Компанія продає q одиниць на тиждень. Ціна, за якою їх можна продати, p = 90 − 0,5q євро за одиницю, а витрати C(q) = 500 + 20q євро. Знайдіть тижневий обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

p = 90 − 0,5qC = 500 + 20q

q = од.

7.ІнтегралиСередня

Обчисліть I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

8.ІнтегралиСкладна

Знайдіть площу A області між параболою y = 9 − x² і віссю x.

y = 9 − x²

A =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 0,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 3x/(√(9x² + 3x) + 3x)

Поділіть на x

f(x) = 3/(√(9 + 3/x) + 3)

Нехай x → ∞

L = 3/(3 + 3) = 0,5

Відповідь

L = 0,5

2.Границі

Відповідь: L = 0,5

Перше застосування

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Друге застосування

1·e^x/2

Підставте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Відповідь

L = 0,5

3.Похідні

Відповідь: f′(1.5) = 1,104

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Підставте

f′(1,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Відповідь

f′(1,5) = 1,104

4.Похідні

Відповідь: b = −21

Точка і нахил

f(3) = 18

f′(x) = 6x − 5 → f′(3) = 13

Дотична при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 18 − 13·3 = −21

Відповідь

b = −21

5.Оптимізація

Відповідь: S = 2700 cm²

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 54000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Висота й площа

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Відповідь

S = 2700 cm²

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: q = 70 од.

Функція прибутку

P(q) = (90 − 0,5q)·q − (500 + 20q) = −0,5q² + 70q − 500

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −1 < 0, тож це максимум.

q = 70/1 = 70

Ціна й прибуток

p = 90 − 0,5·70 = €55

P = 70·70 − 0,5·70² − 500 = €1950

Відповідь

q = 70

7.Інтеграли

Відповідь: I = 3,75

Визначені інтеграли: ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа зі знаком між графіком і віссю x від a до b. Знайдіть первісну F (F′ = f) і обчисліть F(b) − F(a). Степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площа між двома кривими — це ∫(верхня − нижня) dx.

Заміна змінної

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

Проінтегруйте й підставте межі

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

Відповідь

I = 3,75

8.Інтеграли

Відповідь: A = 36

Нулі

9 − x² = 0 → x = ±3

Інтегруйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Відповідь

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1