Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (1 − 2/x)2x. Дайте десяткове значення.

f(x) = (1 − 2/x)2xx → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 (e1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = 0,5

Нехай f(x) = x·sin(2x), x у радіанах. Знайдіть f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
4.ПохідніСкладна
xy

Нехай f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 2. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 2
x =
5.ОптимізаціяСередня
бік до вулиці: €40/m€10/myyx

Прямокутну ділянку площею 400 m² огороджують з усіх чотирьох боків. Сторона вздовж вулиці довжиною x коштує €40 за метр; інші три сторони — €10 за метр. Знайдіть довжину x сторони вздовж вулиці, за якої вартість мінімальна.

A = 400 m²€40/m€10/m
x = m
6.ОптимізаціяСкладна
p (€)R(p)25зараз

Театр продає 2550 квитків на виставу по €25. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 50 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 50 більше). Знайдіть ціну квитка p, що максимізує виручку.

2550 × €2550 / €1
p = €
7.ІнтегралиСередня
xy4y = 0,5x

Область під y = 0,5x від x = 0 до x = 4 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (конуса).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 4
V =
8.ІнтегралиСкладна
xy2y = 4xy = 2x²

Область між прямою y = 4x і параболою y = 2x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = 4xy = 2x²
V =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 0,01832

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Візьміть логарифм

ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 − 2/x)

Обчисліть

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, тож x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−2) = −4

Позбудьтеся логарифма

L = e−4 = 0,01832

Відповідь

L = 0,01832
2.Границі

Відповідь: L = 1,125

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Перше застосування

(1,5·e1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Друге застосування

2,25·e1,5x/2

Підставте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Відповідь

L = 1,125
3.Похідні

Відповідь: f′(0.5) = 1,382

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Підставте

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Відповідь

f′(0,5) = 1,382
4.Похідні

Відповідь: x = 3

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Похідна

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 3 або x = 6

Що є що

f″(x) = 6x − 27: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 3

Відповідь

x = 3
5.Оптимізація

Відповідь: x = 12,65 m

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Вартість як функція x

C(x) = 50x + 8000/x

Прирівняйте похідну до нуля

C″(x) = 16000/x³ > 0, тож це мінімум.

x = √(8000/50) = 12,65 m
y = 400/12,65 = 31,62 m

Мінімальна вартість

C = 50·12,65 + 8000/12,65 = €1265

Відповідь

x = 12,65 m
6.Оптимізація

Відповідь: p = 38 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Виручка як функція ціни

n(p) = 3800 − 50p
R(p) = 3800p − 50p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −100 < 0, тож це максимум.

p = 3800/100 = €38

Максимальна виручка

n = 3800 − 50·38 = 1900
R = 38·1900 = €72200

Відповідь

p = €38
7.Інтеграли

Відповідь: V = 16,76

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Метод дисків

V = π∫₀4 0,25x² dx

Інтегруйте

V = π·0,25·4³/3 = 16,76

Відповідь

V = 16,76

Перевірка: конус радіуса 2 і висоти 4 має (1/3)πr²h = 16,76.

8.Інтеграли

Відповідь: V = 53,62

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

4x = 2x² → x = 0, x = 2

Метод шайб

V = π∫₀2 ((4x)² − (2x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17,07 = 53,62

Відповідь

V = 53,62

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1