Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (6x2 + 8)/(2x2 + 5x + 8).

f(x) = (6x2 + 8)/(2x2 + 5x + 8)x → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 (e1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = 2

Нехай f(x) = (4x + 3)5. Знайдіть f′(2).

f(x) = (4x + 3)5x = 2
f′(2) =
4.ПохідніСкладна
xy

Нехай f(x) = x3 − 7,5x2 + 12x − 2. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x3 − 7,5x2 + 12x − 2
x =
5.ОптимізаціяСередня
xhxбез кришки

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 62500 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть висоту h.

V = 62500 cm³
h = cm
6.ОптимізаціяСкладна
p (€)R(p)25зараз

Театр продає 780 квитків на виставу по €25. Маркетингове дослідження показує, що кожне підвищення ціни квитка на €1 означає на 20 проданих квитків менше (а кожне зниження на €1 — на 20 більше). Знайдіть ціну квитка p, що максимізує виручку.

780 × €2520 / €1
p = €
7.ІнтегралиСередня
xy4y = √(4x)

Область під y = √(4x) від x = 0 до x = 4 обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла (параболоїда).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 4
V =
8.ІнтегралиСкладна
xy1,667y = 5xy = 3x²

Область між прямою y = 5x і параболою y = 3x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = 5xy = 3x²
V =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 3

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Поділіть на найвищий степінь

(6 + 8/x2)/(2 + 5/x + 8/x2)

Нехай x → ∞

L = 6/2 = 3

Відповідь

L = 3

При однакових степенях границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів.

2.Границі

Відповідь: L = 1,125

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Перше застосування

(1,5·e1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Друге застосування

2,25·e1,5x/2

Підставте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Відповідь

L = 1,125
3.Похідні

Відповідь: f′(2) = 292820

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Ланцюгове правило

f′(x) = 5·(4x + 3)4·4

Підставте

f′(2) = 5·114·4 = 292820

Відповідь

f′(2) = 292820
4.Похідні

Відповідь: x = 1

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Похідна

f′(x) = 3x2 − 15x + 12 = 3·(x2 − 5x + 4)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = 1 або x = 4

Що є що

f″(x) = 6x − 15: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(1) = −9, f″(4) = 9
x = 1

Відповідь

x = 1
5.Оптимізація

Відповідь: h = 25 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 250000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Висота й площа

h = 62500/50² = 25 cm
S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Відповідь

h = 25 cm

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: p = 32 €

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Виручка як функція ціни

n(p) = 1280 − 20p
R(p) = 1280p − 20p²

Прирівняйте похідну до нуля

R″(p) = −40 < 0, тож це максимум.

p = 1280/40 = €32

Максимальна виручка

n = 1280 − 20·32 = 640
R = 32·640 = €20480

Відповідь

p = €32
7.Інтеграли

Відповідь: V = 100,5

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Метод дисків

V = π∫₀4 4x dx

Інтегруйте

V = π·4·4²/2 = 100,5

Відповідь

V = 100,5
8.Інтеграли

Відповідь: V = 48,48

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

5x = 3x² → x = 0, x = 1,667

Метод шайб

V = π∫₀1,667 ((5x)² − (3x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(25·1,667³/3 − 9·1,667⁵/5) = π·15,43 = 48,48

Відповідь

V = 48,48

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1