Математичний аналіз 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Границі

Пряма підстановка
спершу спробуйте x = a; 0/0 означає, що треба спростити
Розкладіть на множники й скоротіть
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Спряжений вираз
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Границі на нескінченності
поділіть на найвищий степінь x; однакові степені дають відношення старших коефіцієнтів
Особлива границя
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопіталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Похідні

Похідна степеня
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило добутку
(uv)′ = u′v + uv′
Похідна частки
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Ланцюгове правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основні похідні
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Визначте структуру: сума, добуток, частка чи композиція.
  2. Застосуйте степеневе правило до кожного степеня x.
  3. За потреби використайте правило добутку, частки або ланцюгове правило.
  4. Спростіть і, якщо треба, обчисліть значення в точці.

Оптимізація

Метод
запишіть Q(x) через одну змінну, розв’яжіть Q′(x) = 0, перевірте Q″ або кінці проміжку
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Мінімум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закритий циліндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибуток
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Інтеграли

Похідна степеня
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Визначений інтеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основні інтеграли
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площа між кривими
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Якщо можливо, перепишіть підінтегральну функцію як суму простих доданків.
  2. Застосуйте степеневе правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), і табличні інтеграли для ex, 1/x, sin і cos.
  3. Використовуйте підстановку, коли бачите функцію разом з її похідною.
  4. Для визначеного інтеграла обчисліть F(b) − F(a).

2Задачі для практики

1.ГраниціСередня
xyy = L

Знайдіть границю L = limx→∞ (√(9x2 + 9x) − 3x).

f(x) = √(9x2 + 9x) − 3xx → ∞
L =
2.ГраниціСкладна
xyx = 0

Знайдіть границю L = limx→0 (e−0,5x − 1 + 0,5x)/x².

f(x) = (e−0,5x − 1 + 0,5x)/x²x → 0
L =
3.ПохідніСередня
xyx = 1,5

Нехай f(x) = x·sin(x), x у радіанах. Знайдіть f′(1,5).

f(x) = x·sin(x)x = 1,5 rad
f′(1.5) =
4.ПохідніСкладна
xy

Нехай f(x) = x3 + 6x2 + 9x − 5. Знайдіть x-координату x локального максимуму.

f(x) = x3 + 6x2 + 9x − 5
x =
5.ОптимізаціяСередня
xhxбез кришки

Відкрита коробка (без кришки) з квадратним дном має вміщувати 4000 cm³. Використайте якнайменше матеріалу, тобто найменшу площу дна разом із чотирма стінками. Знайдіть висоту h.

V = 4000 cm³
h = cm
6.ОптимізаціяСкладна
qP(q)максимум

Невелика фірма продає свою продукцію за фіксованою ринковою ціною €50 за одиницю. Виробництво q одиниць коштує C(q) = 100 + 28q + 0,5q² євро. Знайдіть обсяг випуску q, що максимізує прибуток.

p = €50C = 100 + 28q + 0,5q²
q = од.
7.ІнтегралиСередня
xy1y = x·cos x

Обчисліть I = ∫₀1 x·cos x dx (x у радіанах).

∫₀1 x·cos x dx
I =
8.ІнтегралиСкладна
xy1,667y = 5xy = 3x²

Область між прямою y = 5x і параболою y = 3x² обертається навколо осі x. Знайдіть об’єм V цього тіла.

y = 5xy = 3x²
V =

3Розчини

1.Границі

Відповідь: L = 1,5

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Помножте на спряжений вираз

f(x) = 9x/(√(9x2 + 9x) + 3x)

Поділіть на x

f(x) = 9/(√(9 + 9/x) + 3)

Нехай x → ∞

L = 9/(3 + 3) = 1,5

Відповідь

L = 1,5
2.Границі

Відповідь: L = 0,125

Границі: спершу спробуйте пряму підстановку. Якщо виходить 0/0, спочатку спростіть: розкладіть на множники й скоротіть спільний множник або помножте на спряжений вираз. При x → ∞ поділіть чисельник і знаменник на найвищий степінь x. Правило Лопіталя: якщо f/g дає 0/0 або ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причому чисельник і знаменник диференціюють окремо (а не за правилом частки).

Перше застосування

(−0,5·e−0,5x + 0,5)/(2x) → 0/0

Друге застосування

0,25·e−0,5x/2

Підставте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Відповідь

L = 0,125
3.Похідні

Відповідь: f′(1.5) = 1,104

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Правила добутку й ланцюгове

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Підставте

f′(1,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Відповідь

f′(1,5) = 1,104
4.Похідні

Відповідь: x = −3

Диференціювання: похідна f′(x) — це нахил графіка в точці x. Степеневе правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило добутку: (uv)′ = u′v + uv′. Ланцюгове правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Де f′(x) = 0, графік має горизонтальну дотичну: максимум, мінімум або сідлову точку.

Похідна

f′(x) = 3x2 + 12x + 9 = 3·(x2 + 4x + 3)

Розв'яжіть f′(x) = 0

x = −3 або x = −1

Що є що

f″(x) = 6x + 12: від'ємна в максимумі, додатна в мінімумі.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6
x = −3

Відповідь

x = −3
5.Оптимізація

Відповідь: h = 10 cm

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Площа як функція x

S(x) = x² + 16000/x

Прирівняйте похідну до нуля

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, тож це мінімум.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Висота й площа

h = 4000/20² = 10 cm
S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Відповідь

h = 10 cm

Найкраща відкрита коробка має висоту, що вдвічі менша за ширину.

6.Оптимізація

Відповідь: q = 22 од.

Оптимізація: запишіть величину, яку треба оптимізувати, як функцію однієї змінної, виключивши іншу за допомогою обмеження. Прирівняйте похідну до нуля й розв’яжіть. Перевірте, що критична точка — максимум або мінімум (друга похідна або зміна знака першої похідної) і що вона лежить у допустимому проміжку; кінцева точка, як-от нульова довжина сторони, не є відповіддю.

Функція прибутку

P(q) = 50q − (100 + 28q + 0,5q²) = −0,5q2 + 22q − 100

Прирівняйте похідну до нуля

P″(q) = −1 < 0, тож це максимум.

22 − 1q = 0 → q = 22

Максимальний прибуток

P = 22·22 − 0,5·22² − 100 = €142

Відповідь

q = 22
7.Інтеграли

Відповідь: I = 0,3818

Інтегрування частинами: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, з правила добутку. Оберіть за u множник, що спрощується після диференціювання (степінь x або ln x), а за dv — множник, який можна проінтегрувати (eˣ, sin x, cos x або x, коли u = ln x). Для визначеного інтеграла обчисліть u·v на обох межах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множник x² потребує двох кіл.

Оберіть u та dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первісна

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Границі

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0,3818

Відповідь

I = 0,3818
8.Інтеграли

Відповідь: V = 48,48

Об’єми тіл обертання: обертання області під y = f(x) від x = a до x = b навколо осі x дає тіло, поперечний переріз якого в точці x — круг радіуса f(x). Сума кругів дає V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Якщо область лежить між зовнішньою кривою R(x) і внутрішньою r(x), кожен зріз — шайба: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Радіуси підносьте до квадрата до віднімання.

Точки перетину

5x = 3x² → x = 0, x = 1,667

Метод шайб

V = π∫₀1,667 ((5x)² − (3x²)²) dx

Інтегруйте

V = π(25·1,667³/3 − 9·1,667⁵/5) = π·15,43 = 48,48

Відповідь

V = 48,48

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1