Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €8 000. Очікується, що дохід зростатиме на 3 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 9 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €8 000g = 3%r = 9%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €25 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 5 років під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?
P = €25 0005,4% / 12N = 60
I = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €100 000. Він приносить €5 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €100 000CF1 = €5 000g = 2%r = 8%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Інвестиція €25 000 приносить €6 500 наприкінці кожного року протягом 8 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €25 000CF = €6 500n = 8
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 9 років. Її дохідність до погашення змінюється з 6% до 4%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 7%n = 9y1 = 6%y2 = 4%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €995 з дохідністю до погашення 6% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 10,6 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 50 базисних пунктів.
P0 = €995y = 6%D = 10,6Δy = −50 bp
P = €
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
Компанія має 1 000 000 акцій, що торгуються за €27,00; балансова вартість її власного капіталу €8 100 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,70 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €8 100 000 і вартість до оподаткування 5%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 32?
μ = 50σ = 15x = 32
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 2 осіб із групи з 7 осіб? Порядок не має значення.
n = 7k = 2
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €25 з імовірністю 0,25 і €100 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €5€25: p = 0,25€100: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 250 і 251,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 250x2 = 251,25
P =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 60% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g60%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 25 елементів має середнє 79,5 і стандартне відхилення s = 7. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 25x̄ = 79,5s = 790%t(24) = 1,711
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 28. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 28E = 195%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 500; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 15. Випадкова вибірка з 100 спостережень має середнє 498,8. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 500σ = 15n = 100x̄ = 498,8H₁: μ < μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ > 500 виконують на рівні α = 0,05 за вибіркою обсягом 36; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 508,5. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 500μ = 508,5σ = 15n = 36α = 0,05
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 1,5.
n = 5x = 1,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 133333 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,0045, N = 60
A = 25 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−60) = €476,38
Усього відсотків
I = N·A − P = 60·476,4 − 25 000 = €3 582,56
Відповідь
I = €3 582,56
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −16667 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 5 000/(0,08 − 0,02) = 83 333,33
NPV
NPV = 83 333,33 − 100 000 = −€16 666,67
Відповідь
NPV = −€16 666,67
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 19,92 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−8)/i = 25 000/6 500 = 3,846
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 19%: 3,954
i = 20%: 3,837
IRR = 19,92%
Відповідь
IRR = 19,92%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = 155 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 10,6/1,06 = 10
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −10·(−0,005) = 5%
P ≈ 995·(1 + 0,05) = €1 044,75
Відповідь
P = €1 044,75
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,643 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Відповідь
P = 0,1151
11.Імовірність
Відповідь: N = 21
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21
Відповідь
N = 21
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 3,25 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 20 (p = 0,25), 95 (p = 0,02), −5 (p = 0,73)
Математичне сподівання
E(G) = 20·0,25 + 95·0,02 − 5·0,73 = 3,25 €
Відповідь
E(G) = 3,25 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,09871
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (250 − 250)/5 = 0
z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25
Площа між
P = Φ(0,25) − Φ(0) = 0,5987 − 0,5 = 0,09871
Відповідь
P = 0,09871
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 248,8 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,4
z з таблиці
z ≈ −0,25
Назад до початкових одиниць
x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g
Відповідь
x = 248,8 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 2,395
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 24, t = 1,711
Похибка оцінки
E = 1,711·7/√25 = 2,395
Відповідь
E = 2,395
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 3012
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·28/1)² = 3012
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 3012
Відповідь
n = 3012
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,2119
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5
z = (498,8 − 500)/1,5 = −0,8
Площа хвоста
Φ(0,8) = 0,7881
1 − Φ(0,8) = 0,2119
p-значення
p = 0,2119
Відповідь
p = 0,2119
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 96,04 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 500 + 1,645·2,5 = 504,1
z при справжньому середньому
z = (504,1 − 508,5)/2,5 = −1,755
Потужність
потужність = P(Z > −1,755) = 96,04%
1 − β = 96,04%
Відповідь
1 − β = 96,04%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9892
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 87/6 = 14,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 147
Syy = Σ(y − ȳ)² = 315,5
Коефіцієнт кореляції
r = 147/√(70·315,5) = 0,9892
Відповідь
r = 0,9892
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 27,05
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.