Кредитна картка нараховує номінальну ставку 24 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 24%m = 4
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €250 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €250 0004,2% / 12N = 300
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €18 000, €29 000, €15 000, €28 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €40 000 і приносить €30 000, €16 000, €27 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 30 000CF2 = 16 000CF3 = 27 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 6 років. Її дохідність до погашення змінюється з 7% до 9%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 6%n = 6y1 = 7%y2 = 9%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 7 років і продається за €1 085. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 7P = €1 085
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Її WACC 10,11%, вартість боргу до оподаткування 6%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €35,00; балансова вартість її власного капіталу €87 500 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,10 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €52 500 000 і вартість до оподаткування 5%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 75. Знайдіть z-оцінку z для результату 530.
μ = 500σ = 75x = 530
z =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 6 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 6
P =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,1 і €10 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €1€4: p = 0,1€10: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 28,3 min. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 28,3 min
P =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 80% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g80%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 20 елементів має середнє 96 і стандартне відхилення s = 5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 20x̄ = 96s = 595%t(19) = 2,093
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 34. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?
σ = 34E = 490%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 25 студентів має середній бал 68,4 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 68,4s = 15n = 25
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ < 200 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 16. Насправді середнє дорівнює 195.6. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.
μ₀ = 200μ = 195,6σ = 16n = 64α = 0,10
β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 26,25 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,24/4 = 0,06
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,06)4 − 1 = 1,262 − 1 = 26,25%
Відповідь
EAR = 26,25%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 1347 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·25 = 300
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,3506
A = 250 000·0,0035/(1 − 0,3506) = €1 347,36
Відповідь
A = €1 347,36
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 19440 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 18 000/1,05 = 17 142,86
CF2/(1 + 0,05)2 = 29 000/1,103 = 26 303,85
CF3/(1 + 0,05)3 = 15 000/1,158 = 12 957,56
CF4/(1 + 0,05)4 = 28 000/1,216 = 23 035,67
Додайте
NPV = €19 439,95
Відповідь
NPV = €19 439,95
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 39,21 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(35%) = 2 178,53
NPV(40%) = −386,30
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 085 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Чисельний розв’язок
P(5%) = €1 115,73, P(6%) = €1 055,82
YTM = 5,504%
Відповідь
YTM = 5,504%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 12 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
Частка боргу у WACC
0,25·6%·(1 − 0,258) = 1,113%
Вартість власного капіталу
re = (10,11% − 1,113%)/0,75 = 12%
Відповідь
re = 12%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,308 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість власного капіталу
D1 = 1,1·1,05 = €1,16
re = 1,155/35 + 0,05 = 8,3%
Ринкові вартості
E = 5 000 000·€35,00 = €175 000 000
V = €227 500 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·8,3% + 0,2308·5%·(1 − 0,2) = 7,308%
Відповідь
WACC = 7,308%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 16,32
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (530 − 500)/75 = 0,4
Відповідь
z = 0,4
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,6651
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Відповідь
P = 0,6651
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −0,5 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 3 (p = 0,1), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)
Математичне сподівання
E(G) = 3·0,1 + 9·0,01 − 1·0,89 = −0,5 €
Відповідь
E(G) = −0,5 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9306
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306
Відповідь
P = 0,9306
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 245,8 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,2
z з таблиці
z ≈ −0,84
Назад до початкових одиниць
x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g
Відповідь
x = 245,8 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 98,34
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Похибка оцінки
E = 2,093·5/√20 = 2,34
Інтервал
96 ± 2,34 → [93,66, 98,34]
Відповідь
верхня межа = 98,34
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 196
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·34/4)² = 195,5
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 196
Відповідь
n = 196
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −2,2
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 15/√25 = 15/5 = 3
Статистика критерію
t = (68,4 − 75)/3 = −2,2
Відповідь
t = −2,2
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: β = 17,93 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 16/√64 = 2
x̄c = 200 − 1,282·2 = 197,4
z при справжньому середньому
z = (197,4 − 195,6)/2 = 0,918
Помилка другого роду
потужність = P(Z < 0.918) = 82.07%
β = 100% − 82,07% = 17,93%
Відповідь
β = 17,93%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9625
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 5568 − 114·278/6 = 286
Sxx = 2236 − 114²/6 = 70
Syy = 14142 − 278²/6 = 1261
Коефіцієнт кореляції
r = 286/√(70·1261) = 0,9625
Відповідь
r = 0,9625
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 49,39
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 333/6 = 55,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53,5
Лінія регресії
b = 53,5/17,5 = 3,057
a = 55,5 − 3,057·4,5 = 41,74
ŷ = 41,74 + 3,057·x
Прогноз
ŷ = 41,74 + 3,057·2,5 = 49,39
Відповідь
ŷ = 49,39
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.