Ви інвестуєте €2 000 під 3 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 16 років.
PV = €2 000r = 3%t = 16
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €5 000 під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €125. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €5 000A = €1253,6% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €9 000, €14 000, €14 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €25 000 і приносить €18 000, €15 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 18 000CF2 = 15 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 7 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 030, коли дохідність до погашення становить 4%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 7P = €1 030YTM = 4%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 16 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 7%) продається за €1 217. Емітент може достроково викупити її через 3 років за ціною викупу €1 070. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 7%P = €1 217ціна викупу = €1 070дострокове погашення через 3 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 21%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,2 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,25. Ставка податку 20%, безризикова ставка 3%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 60.
μ = 100σ = 20x = 60
z =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 7 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 7
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 12 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 12p = 0,4k = 2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 462 і 582 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 500σ = 40x1 = 462x2 = 582
P =
14.Нормальний розподілСкладна
результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 25% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 100 балівσ = 15 балів25%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 елементів має середнє 12,5 і стандартне відхилення s = 11. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 16x̄ = 12,5s = 1195%t(15) = 2,131
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 20. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 3?
σ = 20E = 399%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 40 деталей має середню довжину 136 mm, відоме стандартне відхилення лінії 3 mm. Лінія 2: вибірка з 60 деталей має середнє 137,7 mm, відоме стандартне відхилення 3 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Вибірка з 25 вимірювань має середнє 500,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 500,6σ = 4n = 2595%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 30?
n = 6ŷ = 30
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 3232 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,03·16 = 0,48
e0,48 = 1,616
Майбутня вартість
FV = 2 000·1,616 = €3 232,15
Відповідь
FV = €3 232,15
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 43 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,003/125 = 0,88
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,88)/ln(1,003) = 42,68
Округлення вгору до повних платежів
Після 42 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 43
Відповідь
N = 43 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 1450 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 9 000/1,08 = 8 333,33
CF2/(1 + 0,08)2 = 14 000/1,166 = 12 002,74
CF3/(1 + 0,08)3 = 14 000/1,26 = 11 113,65
Додайте
NPV = €1 449,73
Відповідь
NPV = €1 449,73
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 22,58 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 763,89
NPV(25%) = −680,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 20 + 5·763,89/(763,89 − (−680,00)) = 22,65%
точно: NPV(22,58%) = 0 → IRR = 22,58%
Відповідь
IRR = 22,58%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 4,5 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,04)−7 = €759,92
Купон
C = (1030 − 759,92)/6,002 = €45,00
Купонна ставка
c = 45/1000 = 4,5%
Відповідь
c = 4,5%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 1,797 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1217 = 70·(1 − (1 + y)−3)/y + 1070/(1 + y)3
Чисельний розв’язок
y = 1%: €1 244,40
y = 2%: €1 210,16
YTC = 1,797%
Відповідь
YTC = 1,797%
Дохідність до погашення 4,998%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,087 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455
WACC
WACC = 0,4545·14% + 0,5455·4%·(1 − 0,21) = 8,087%
Відповідь
WACC = 8,087%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 12 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,2/(1 + 0,8·0,25) = 1
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1·(1 + 0,8·1,25) = 2
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 2·4,5% = 12%
Відповідь
re = 12%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 16,64
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (60 − 100)/20 = −2
Відповідь
z = −2
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,7209
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Відповідь
P = 0,7209
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,06385
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (462 − 500)/40 = −0,95
z₂ = (582 − 500)/40 = 2,05
Площа між
P = Φ(2,05) − Φ(−0,95) = 0,9798 − 0,1711 = 0,8088
Відповідь
P = 0,8088
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 90 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,25
z з таблиці
z ≈ −0,67
Назад до початкових одиниць
x = 100 − 0,67·15 = 90 балів
Відповідь
x = 90 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 5,86
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Похибка оцінки
E = 2,131·11/√16 = 5,86
Відповідь
E = 5,86
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 295
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·20/3)² = 294,9
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 295
Відповідь
n = 295
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −2,776
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(3²/40 + 3²/60) = √0,375 = 0,6124
Статистика критерію
z = (136 − 137,7)/0,6124 = −2,776
Відповідь
z = −2,776
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 499
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·4/√25 = 1,568
Межа інтервалу
L = 500,6 − 1,568 = 499
Відповідь
L = 499
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9684
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 97/5 = 19,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32
Syy = Σ(y − ȳ)² = 109,2
Коефіцієнт кореляції
r = −32/√(10·109,2) = −0,9684
Відповідь
r = −0,9684
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 7,382
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 171/6 = 28,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 275
Лінія регресії
b = 275/70 = 3,929
a = 28,5 − 3,929·7 = 1
ŷ = 1 + 3,929·x
Розв’яжіть щодо x
x = (30 − 1)/3,929 = 7,382
Відповідь
x = 7,382
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.