Ви інвестуєте €12 000 під номінальну ставку 4,8 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 6 років.
PV = €12 0004,8% / 12n = 6
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €15 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 3 років під 2,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?
P = €15 0002,4% / 12N = 36
I = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €20 000 і приносить €4 500, €5 000, €5 500, €6 500, €4 500, €5 000 наприкінці років з 1 по 6. Вартість капіталу — 12 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт A коштує €10 000 і приносить €5 500, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €12 000 і приносить €3 000, €4 500, €7 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 3,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 3,5%n = 11
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% двома піврічними платежами й погашається через 7 років. Вона продається за €942. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 4% (2×)n = 7P = €942
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,8 має необхідну дохідність 6,6%. Безризикова ставка 1%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,8re = 6,6%rf = 1%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 000 000 акцій по €29,50 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 30%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 1,5%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 82?
μ = 70σ = 20x = 82
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,1, 0,25, 0,2, 0,15
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 5 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?
n = 5p = 0,1k = 4
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,4515. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,4515
z =
14.Нормальний розподілСкладна
строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 80% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Артеріальний тиск 8 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 4,6 і стандартне відхилення 7,3. Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.
n = 8d̄ = 4,6sd = 7,399%t(7) = 3,499
E = mmHg
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 11. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?
σ = 11E = 2,599%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 100 студентів має середній бал 50,7 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 50,7s = 10n = 100
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 20. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 20E = 390%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3, 11). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(3, 11)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 15996 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,002, N = 36
A = 15 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−36) = €432,26
Усього відсотків
I = N·A − P = 36·432,3 − 15 000 = €561,47
Відповідь
I = €561,47
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 5,552 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 4 500/1,12 = 4 017,86 → Σ = 4 017,86
рік 2: 5 000/1,254 = 3 985,97 → Σ = 8 003,83
рік 3: 5 500/1,405 = 3 914,79 → Σ = 11 918,62
рік 4: 6 500/1,574 = 4 130,87 → Σ = 16 049,49
рік 5: 4 500/1,762 = 2 553,42 → Σ = 18 602,91
рік 6: 5 000/1,974 = 2 533,16 → Σ = 21 136,06
Частка останнього року
DPB = 5 + 1 397,09/2 533,16 = 5,552
Відповідь
DPB = 5,552 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,769 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 4,59 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 4 500 − 4 000 = 500
ΔCF3 = 7 000 − 2 500 = 4 500
IRR різниці
NPVΔ(4%) = 58,92
NPVΔ(5%) = −40,17
r* = 4,59%
Відповідь
r* = 4,59%
Перевірка: при 4,59% обидві NPV дорівнюють €1 100,42.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1227 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, i = 0,0175, N = 22
Теперішня вартість купонів
€30,00·(1 − 0,6827)/0,0175 = €543,91
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6827 = €682,72
Ціна
P = €1 226,63
Відповідь
P = €1 226,63
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 4,992 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €20,00, N = 14
Чисельний розв’язок
i = 2,496% за півроку
YTM
YTM = 2·2,496% = 4,992%
Відповідь
YTM = 4,992%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 8 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (6,6% − 1%)/0,8 = 7%
Ринкова дохідність
rm = 1% + 7% = 8%
Відповідь
rm = 8%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,081 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Відповідь
P = 0,2743
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 2,06
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 4) = 5·0,14·0,91 = 5·0,0001·0,9 = 0,00045
Відповідь
P = 0,00045
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 0,6
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,4515)/2 = 0,7257
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,7257 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 0,60
Відповідь
z = 0,60
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 466 h
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,2
z з таблиці
z ≈ −0,84
Назад до початкових одиниць
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Відповідь
x = 466 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 9,031 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критичне значення
df = 7, t = 3,499
Похибка оцінки
E = 3,499·7,3/√8 = 9,031
Відповідь
E = 9,031 mmHg
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 129
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·11/2,5)² = 128,5
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 129
Відповідь
n = 129
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 0,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Статистика критерію
t = (50,7 − 50)/1 = 0,7
Відповідь
t = 0,7
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 121
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,645·20/3)² = 120,3
Округліть угору
n = 121
Відповідь
n = 121
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9787
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 251/5 = 50,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132
Syy = Σ(y − ȳ)² = 454,8
Коефіцієнт кореляції
r = 132/√(40·454,8) = 0,9787
Відповідь
r = 0,9787
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −3,75
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 133/5 = 26,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158
Лінія регресії
b = 158/40 = 3,95
a = 26,6 − 3,95·6 = 2,9
ŷ = 2,9 + 3,95·x
Прогнозоване значення
ŷ = 2,9 + 3,95·3 = 14,75
Залишок
e = 11 − 14,75 = −3,75
Відповідь
e = −3,75
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.