Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 20 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 20%m = 12

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €20 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 6 років під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €20 0007,2% / 12N = 72

I = €

3.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €12 000, €8 000, €9 500, €11 000, €8 000 наприкінці років з 1 по 5. Вартість капіталу — 8 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 8 000CF₃ = 9 500CF₄ = 11 000CF₅ = 8 000

DPB = роки

4.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €10 000 приносить €3 000 наприкінці кожного року протягом 5 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €10 000CF = €3 000n = 5

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 6% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 6%n = 11

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 6 років. Дохідність до погашення 9%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 2%n = 6YTM = 9%

D = роки

7.CAPM і WACCСередня

Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 1. Вартість власного капіталу 12%, вартість боргу до оподаткування 4%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC.

D/E = 1r_e = 12%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 500 000 акцій по €13,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 20%. Бета акції — 0,8, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 9,5%. Знайдіть WACC.

β = 0,8r_f = 2,5%r_m = 9,5%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 35, 50, 39, 53, 44, 17, 39.

n = 7

s =

10.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 77,2.

μ = 70σ = 12x = 77,2

z =

11.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 6 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 6

P =

12.ІмовірністьСкладна

Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,1. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 6p = 0,1

P =

13.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,7054. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7054

z =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 10 % значень (10-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

15.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 15 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −6,5 і стандартне відхилення 2,1. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 15d̄ = −6,5s_d = 2,199%t(14) = 2,977

нижня межа = mmHg

16.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 28. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?

σ = 28E = 595%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 80 деталей має середню довжину 61 mm, відоме стандартне відхилення лінії 8 mm. Лінія 2: вибірка з 30 деталей має середнє 58,4 mm, відоме стандартне відхилення 20 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 80x̄₁ = 61 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 30x̄₂ = 58,4 mmσ₂ = 20 mm

z =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ > 200 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 4. Насправді середнє дорівнює 200,75. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 200μ = 200,75σ = 4n = 64α = 0,01

1 − β = %

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 28). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 28)

e =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 21,94 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,2/12 = 0,01667

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,01667)¹² − 1 = 1,219 − 1 = 21,94%

Відповідь

EAR = 21,94%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 4689 €

Щомісячний платіж

i = 0,006, N = 72

A = 20 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻⁷²) = €342,90

Усього відсотків

I = N·A − P = 72·342,9 − 20 000 = €4 689,10

Відповідь

I = €4 689,10

3.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 3,555 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 12 000/1,08 = 11 111,11 → Σ = 11 111,11

рік 2: 8 000/1,166 = 6 858,71 → Σ = 17 969,82

рік 3: 9 500/1,26 = 7 541,41 → Σ = 25 511,23

рік 4: 11 000/1,36 = 8 085,33 → Σ = 33 596,56

Частка останнього року

DPB = 3 + 4 488,77/8 085,33 = 3,555

Відповідь

DPB = 3,555 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,045 років).

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 15,24 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 10 000/3 000 = 3,333

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 15%: 3,352

i = 16%: 3,274

IRR = 15,24%

Відповідь

IRR = 15,24%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1080 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €35,00, i = 0,03, N = 22

Теперішня вартість купонів

€35,00·(1 − 0,5219)/0,03 = €557,79

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,5219 = €521,89

Ціна

P = €1 079,68

Відповідь

P = €1 079,68

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 5,64 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 20/1,09 = 18,35, t·PV = 18,35

t = 2: 20/1,188 = 16,83, t·PV = 33,67

t = 3: 20/1,295 = 15,44, t·PV = 46,33

t = 4: 20/1,412 = 14,17, t·PV = 56,67

t = 5: 20/1,539 = 13,00, t·PV = 64,99

t = 6: 1020/1,677 = 608,19, t·PV = 3 649,16

Дюрація

P = 685,99

D = 3 869,17/685,99 = 5,64

Відповідь

D = 5,64 роки

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,484 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги з D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·12% + 0,5·4%·(1 − 0,258) = 7,484%

Відповідь

WACC = 7,484%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,327 %

Ринкові вартості

E = 2 500 000·€13,00 = €32 500 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,8·7% = 8,1%

Ваги

V = €37 600 000, E/V = 0,8644, D/V = 0,1356

WACC

WACC = 0,8644·8,1% + 0,1356·3%·(1 − 0,2) = 7,327%

Відповідь

WACC = 7,327%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 11,83

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 277/7 = 39,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−4,571)² + 10,43² + (−0,5714)² + 13,43² + 4,429² + (−22,57)² + (−0,5714)² = 839,7

Стандартне відхилення

s = √(839,7/6) = 11,83

Відповідь

s = 11,83

10.Описова статистика

Відповідь: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (77,2 − 70)/12 = 0,6

Відповідь

z = 0,6

11.Імовірність

Відповідь: P = 0,6651

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Відповідь

P = 0,6651

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,8857

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,9⁶ = 0,5314

P(X = 1) = 6·0,1·0,9⁵ = 0,3543

Додайте

P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857

Відповідь

P = 0,8857

13.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −0,54

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,7054 = 0,2946

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,2946 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −0,54

Відповідь

z = −0,54

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 169 cm

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Назад до x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Відповідь

x = 169,03 cm

15.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −8,114 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 14, t = 2,977

Похибка оцінки

E = 2,977·2,1/√15 = 1,614

Інтервал

−6,5 ± 1,614 → [−8,114, −4,886]

Відповідь

нижня межа = −8,114 mmHg

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 121

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,96·28/5)² = 120,5

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 121

Відповідь

n = 121

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = 0,6916

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(8²/80 + 20²/30) = √14,13 = 3,759

Статистика критерію

z = (61 − 58,4)/3,759 = 0,6916

Відповідь

z = 0,6916

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 20,44 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 4/√64 = 0,5

x̄_c = 200 + 2,326·0,5 = 201,2

z при справжньому середньому

z = (201,2 − 200,75)/0,5 = 0,826

Потужність

потужність = P(Z > 0,826) = 20,44%

1 − β = 20,44%

Відповідь

1 − β = 20,44%

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9638

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 295/6 = 49,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 203

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 610,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 203²/(70·610,8) = 0,9638

Відповідь

r² = 0,9638

Близько 96,38% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 2,843

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 117/6 = 19,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49,5

Лінія регресії

b = −49,5/17,5 = −2,829

a = 19,5 − (−2,829)·3,5 = 29,4

ŷ = 29,4 − 2,829·x

Прогнозоване значення

ŷ = 29,4 + (−2,829)·1,5 = 25,16

Залишок

e = 28 − 25,16 = 2,843

Відповідь

e = 2,843

Точка лежить вище прямої.

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income