Ви інвестуєте €8 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 4 років.
PV = €8 0002% / 4n = 4
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €25 000 під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €1 100. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €25 000A = €1 1003,6% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €8 500 наприкінці кожного року протягом 6 років. Вартість капіталу — 8 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт A коштує €10 000 і приносить €6 000, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €12 000 і приносить €3 500, €5 000, €6 500. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 5 років. Її дохідність до погашення змінюється з 4% до 5,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 7%n = 5y1 = 4%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 8 років і продається за €895. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 8P = €895
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €10 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 000 000 і боргом вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу 12%, вартість привілейованого капіталу 6,5%, вартість боргу до оподаткування 4,5%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,5 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 0,6. Ставка податку 28%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 20. Знайдіть z-оцінку z для результату 58.
μ = 50σ = 20x = 58
z =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 11 осіб? Порядок не має значення.
n = 11k = 5
N =
12.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 5X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,3Y = 5X − 3
σY =
13.Нормальний розподілСередня
Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 6 з них перевищує 150,6 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6> 150,6 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 97,5%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 60 телефонів, середнє 68,5 h, відоме стандартне відхилення 8 h. Модель 2: 50 телефонів, середнє 72 h, відоме стандартне відхилення 18 h. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 33. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?
σ = 33E = 0,599%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 6 студентів, середній бал 109, стандартне відхилення 7. Група 2: 8 студентів, середній бал 115, стандартне відхилення 9,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
n₁ = 6x̄₁ = 109s₁ = 7n₂ = 8x̄₂ = 115s₂ = 9,5
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 24 з 80 пацієнтів, які отримували лікування A, і 13 з 80 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 24n₁ = 80x₂ = 13n₂ = 80
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 59). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 59)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 8665 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,003/1100 = 0,9318
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,9318)/ln(1,003) = 23,57
Округлення вгору до повних платежів
Після 23 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 24
Відповідь
N = 24 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 4,319 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 8 500/1,08 = 7 870,37 → Σ = 7 870,37
рік 2: 8 500/1,166 = 7 287,38 → Σ = 15 157,75
рік 3: 8 500/1,26 = 6 747,57 → Σ = 21 905,32
рік 4: 8 500/1,36 = 6 247,75 → Σ = 28 153,08
рік 5: 8 500/1,469 = 5 784,96 → Σ = 33 938,04
Частка останнього року
DPB = 4 + 1 846,92/5 784,96 = 4,319
Відповідь
DPB = 4,319 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,529 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 4,802 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 500 − 6 000 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 500 − 2 500 = 4 000
IRR різниці
NPVΔ(4%) = 76,70
NPVΔ(5%) = −18,57
r* = 4,802%
Відповідь
r* = 4,802%
Перевірка: при 4,802% обидві NPV дорівнюють €1 538,82.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −69,5 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€895 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Чисельний розв’язок
P(9%) = €944,65, P(10%) = €893,30
YTM = 9,966%
Відповідь
YTM = 9,966%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,807 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,5/(1 + 0,72·0,25) = 1,271
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,271·(1 + 0,72·0,6) = 1,82
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 1,82·4% = 10,78%
Відповідь
re = 10,78%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 11,54
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (58 − 50)/20 = 0,4
Відповідь
z = 0,4
11.Імовірність
Відповідь: N = 462
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462
Відповідь
N = 462
12.Імовірність
Відповідь: σY = 12,45
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 3, Var(X) = 6,2, σX = 2,49
Лінійна зміна
σY = |5|·2,49 = 12,45
Відповідь
σY = 12,45
Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·3 − 3 = 12.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,3121
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 150 kg, σT = 0,5·√6 = 1,225 kg
Стандартизуйте
z = (150,6 − 150)/1,225 = 0,49
Імовірність
P = 1 − Φ(0,49) = 0,3121
Відповідь
P = 0,3121
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 129,4 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Назад до x
x = 100 + 1,96·15 = 129,4 балів
Відповідь
x = 129,4 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 3,577 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 68,5 − 72 = −3,5
Стандартна похибка
SE = √(8²/60 + 18²/50) = 2,747
Похибка оцінки
E = 2,576·2,747 = 7,077
Інтервал
−3,5 ± 7,077 → [−10,58, 3,577]
Відповідь
верхня межа = 3,577 h
Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 28906
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·33/0,5)² = 28905
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 28906
Відповідь
n = 28906
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,3
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Об’єднана дисперсія
sp² = (5·7² + 7·9,5²)/12 = 73,06
sp = 8,548
Стандартна похибка
SE = 8,548·√(1/6 + 1/8) = 4,616
Статистика критерію
t = (109 − 115)/4,616 = −1,3
Відповідь
t = −1,3
При df = 12 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,179; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 2,063
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 24/80 = 0,3
p̂₂ = 13/80 = 0,1625
p̂ = 37/160 = 0,2313
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,2313·0,7688·(1/80 + 1/80)) = 0,06667
Статистика критерію
z = (0,3 − 0,1625)/0,06667 = 2,063
Відповідь
z = 2,063
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9135
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 339/5 = 67,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62
Syy = Σ(y − ȳ)² = 420,8
Коефіцієнт детермінації
r² = 62²/(10·420,8) = 0,9135
Відповідь
r² = 0,9135
Близько 91,35% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 2,8
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 305/5 = 61
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32
Лінія регресії
b = 32/10 = 3,2
a = 61 − 3,2·5 = 45
ŷ = 45 + 3,2·x
Прогнозоване значення
ŷ = 45 + 3,2·3,5 = 56,2
Залишок
e = 59 − 56,2 = 2,8
Відповідь
e = 2,8
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.