Кредитна картка нараховує номінальну ставку 16 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 16%m = 12
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €300 наприкінці кожного місяця протягом 29 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €3002,4% / 12N = 348
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €60 000 і приносить €20 500, €13 000, €22 000, €23 500, €16 500, €16 000 наприкінці років з 1 по 6. Вартість капіталу — 5 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт A коштує €30 000 і приносить €17 500, €12 500, €6 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €32 000 і приносить €9 000, €13 500, €17 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 9%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 19 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 9%) продається за €1 149. Емітент може достроково викупити її через 6 років за ціною викупу €1 090. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 9%P = €1 149ціна викупу = €1 090дострокове погашення через 6 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Її WACC 11,11%, вартість боргу до оподаткування 3%, а ставка податку 28%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
У компанії 4 000 000 акцій по €22,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 20%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 1,5%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 56?
μ = 50σ = 15x = 56
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,1, 0,35, 0,25
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €2. Ви виграєте €4 з імовірністю 0,15 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €2€4: p = 0,15€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 174,5 і 181,85 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 174,5x2 = 181,85
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 6,1. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за тими самими даними?
99%n₁ = 64E₁ = 6,195%
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 24. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 24E = 195%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 40 деталей має середню довжину 145,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 4 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 149,2 mm, відоме стандартне відхилення 7 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Вибірка з 49 вимірювань має середнє 101,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 101,6σ = 5n = 4995%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 20). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 20)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 17,23 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,16/12 = 0,01333
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,01333)12 − 1 = 1,172 − 1 = 17,23%
Відповідь
EAR = 17,23%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 150648 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 20 500/1,05 = 19 523,81 → Σ = 19 523,81
рік 2: 13 000/1,103 = 11 791,38 → Σ = 31 315,19
рік 3: 22 000/1,158 = 19 004,43 → Σ = 50 319,62
рік 4: 23 500/1,216 = 19 333,51 → Σ = 69 653,13
Частка останнього року
DPB = 3 + 9 680,38/19 333,51 = 3,501
Відповідь
DPB = 3,501 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,191 років).
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 4,416 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −32 000 − (−30 000) = −2 000
ΔCF1 = 9 000 − 17 500 = −8 500
ΔCF2 = 13 500 − 12 500 = 1 000
ΔCF3 = 17 000 − 6 500 = 10 500
IRR різниці
NPVΔ(4%) = 85,94
NPVΔ(5%) = −117,91
r* = 4,416%
Відповідь
r* = 4,416%
Перевірка: при 4,416% обидві NPV дорівнюють €3 934,55.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 817,6 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, i = 0,045, N = 18
Теперішня вартість купонів
€30,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €364,80
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,4528 = €452,80
Ціна
P = €817,60
Відповідь
P = €817,60
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 7,117 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1149 = 90·(1 − (1 + y)−6)/y + 1090/(1 + y)6
Чисельний розв’язок
y = 7%: €1 155,30
y = 8%: €1 102,94
YTC = 7,117%
Відповідь
YTC = 7,117%
Дохідність до погашення 7,503%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 12 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091
Частка боргу у WACC
0,09091·3%·(1 − 0,28) = 0,1964%
Вартість власного капіталу
re = (11,11% − 0,1964%)/0,9091 = 12%
Відповідь
re = 12%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 4,741 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 4 000 000·€22,50 = €90 000 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1,5% + 0,6·6% = 5,1%
Ваги
V = €111 000 000, E/V = 0,8108, D/V = 0,1892
WACC
WACC = 0,8108·5,1% + 0,1892·4%·(1 − 0,2) = 4,741%
Відповідь
WACC = 4,741%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 8,183
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,4
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Відповідь
P = 0,3446
11.Імовірність
Відповідь: σ = 2,322
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,3 + 2·0,1 + 4·0,35 + 6·0,25 = 3,1
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,1 + 16·0,35 + 36·0,25 = 15
Дисперсія
Var(X) = 15 − 3,1² = 5,39
σ = √5,39 = 2,322
Відповідь
σ = 2,322
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −0,4 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 2 (p = 0,15), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)
Математичне сподівання
E(G) = 2·0,15 + 98·0,01 − 2·0,84 = −0,4 €
Відповідь
E(G) = −0,4 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,4003
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5
z₂ = (181,85 − 178)/7 = 0,55
Площа між
P = Φ(0,55) − Φ(−0,5) = 0,7088 − 0,3085 = 0,4003
Відповідь
P = 0,4003
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8554
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554
Відповідь
P = 0,8554
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 4,641
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(64/64) = 0,7609
Нова похибка
E₂ = 6,1·0,7609 = 4,641
Відповідь
E₂ = 4,641
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 2213
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·24/1)² = 2213
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 2213
Відповідь
n = 2213
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −2,903
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(4²/40 + 7²/40) = √1,625 = 1,275
Статистика критерію
z = (145,5 − 149,2)/1,275 = −2,903
Відповідь
z = −2,903
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 100,2
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·5/√49 = 1,4
Межа інтервалу
L = 101,6 − 1,4 = 100,2
Відповідь
L = 100,2
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,989
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 10220 − 100·487/5 = 480
Sxx = 2090 − 100²/5 = 90
Syy = 50051 − 487²/5 = 2617
Коефіцієнт кореляції
r = 480/√(90·2617) = 0,989
Відповідь
r = 0,989
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 4,45
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 84/5 = 16,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
Лінія регресії
b = −25/10 = −2,5
a = 16,8 − (−2,5)·3 = 24,3
ŷ = 24,3 − 2,5·x
Прогнозоване значення
ŷ = 24,3 + (−2,5)·3,5 = 15,55
Залишок
e = 20 − 15,55 = 4,45
Відповідь
e = 4,45
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.