Через 2 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 3 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €10 0003% / 12n = 2
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €150 наприкінці кожного місяця протягом 28 років. Рахунок дає 6 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €1506% / 12N = 336
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €10 000, €8 000, €9 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Інвестиція €25 000 приносить €5 500 наприкінці кожного року протягом 9 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €25 000CF = €5 500n = 9
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% і погашається через 4 років. Її дохідність до погашення змінюється з 3,5% до 5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 8%n = 4y1 = 3,5%y2 = 5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 5% двома піврічними платежами й погашається через 12 років. Вона продається за €839. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 5% (2×)n = 12P = €839
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 000 000 акцій по €13,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 30%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 7%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 12. Знайдіть z-оцінку z для результату 88.
μ = 70σ = 12x = 88
z =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 8 червоних і 9 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
8 / 9
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 9 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 9p = 0,2k = 2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 167,15 і 190,6 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 178σ = 7x1 = 167,15x2 = 190,6
P =
14.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 30% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів30%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 50 телефонів, середнє 109 h, відоме стандартне відхилення 3 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 95 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 32. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?
σ = 32E = 595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 50 деталей має середню довжину 147 mm, відоме стандартне відхилення лінії 5 mm. Лінія 2: вибірка з 30 деталей має середнє 143,6 mm, відоме стандартне відхилення 7 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1,5? Стандартне відхилення — 12. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 12E = 1,590%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 42Σy = 90Σx² = 364Σy² = 1594Σxy = 760
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 18?
n = 6ŷ = 18
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 9418 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·2 = 24
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,062 = €9 418,35
Відповідь
PV = €9 418,35
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 130294 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 10 000/1,09 = 9 174,31
CF2/(1 + 0,09)2 = 8 000/1,188 = 6 733,44
CF3/(1 + 0,09)3 = 9 000/1,295 = 6 949,65
Додайте
NPV = €2 857,40
Відповідь
NPV = €2 857,40
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 16,39 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−9)/i = 25 000/5 500 = 4,545
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 16%: 4,607
i = 17%: 4,451
IRR = 16,39%
Відповідь
IRR = 16,39%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −58,91 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, N = 24
Чисельний розв’язок
i = 3,503% за півроку
YTM
YTM = 2·3,503% = 7,006%
Відповідь
YTM = 7,006%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,967 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·8% + 0,3333·7%·(1 − 0,3) = 6,967%
Відповідь
WACC = 6,967%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 4,873 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 000 000·€13,00 = €26 000 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2% + 0,6·5% = 5%
Ваги
V = €30 900 000, E/V = 0,8414, D/V = 0,1586
WACC
WACC = 0,8414·5% + 0,1586·6%·(1 − 0,3) = 4,873%
Відповідь
WACC = 4,873%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 11,66
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (88 − 70)/12 = 1,5
Відповідь
z = 1,5
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2059
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059
Відповідь
P = 0,2059
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,302
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 2) = 36·0,22·0,87 = 36·0,04·0,2097 = 0,302
Відповідь
P = 0,302
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9035
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (167,15 − 178)/7 = −1,55
z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8
Площа між
P = Φ(1,8) − Φ(−1,55) = 0,9641 − 0,06057 = 0,9035
Відповідь
P = 0,9035
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 70,2 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,7
z з таблиці
z ≈ 0,52
Назад до початкових одиниць
x = 65 + 0,52·10 = 70,2 балів
Відповідь
x = 70,2 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 3,261 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 109 − 95 = 14
Стандартна похибка
SE = √(3²/50 + 15²/60) = 1,982
Похибка оцінки
E = 1,645·1,982 = 3,261
Відповідь
E = 3,261 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 158
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·32/5)² = 157,4
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 158
Відповідь
n = 158
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 2,328
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(5²/50 + 7²/30) = √2,133 = 1,461
Статистика критерію
z = (147 − 143,6)/1,461 = 2,328
Відповідь
z = 2,328
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 174
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,645·12/1,5)² = 173,2
Округліть угору
n = 174
Відповідь
n = 174
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9947
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 760 − 42·90/6 = 130
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1594 − 90²/6 = 244
Коефіцієнт кореляції
r = 130/√(70·244) = 0,9947
Відповідь
r = 0,9947
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 2,412
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 86/6 = 14,33
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −59
Лінія регресії
b = −59/17,5 = −3,371
a = 14,33 − (−3,371)·3,5 = 26,13
ŷ = 26,13 − 3,371·x
Розв’яжіть щодо x
x = (18 − 26,13)/(−3,371) = 2,412
Відповідь
x = 2,412
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.