Ви інвестуєте €20 000 під 2 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 7 років.
PV = €20 000r = 2%t = 7
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €5 000 під 4,2 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €100. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €5 000A = €1004,2% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €29 000, €34 000, €18 000, €30 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Інвестиція €80 000 приносить €24 500 наприкінці кожного року протягом 6 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €80 000CF = €24 500n = 6
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 12 років і виплачує річні купони. Вона продається за €714, коли дохідність до погашення становить 9%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 12P = €714YTM = 9%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 8 років і продається за €1 060. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 8P = €1 060
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 000 000 акцій по €36,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 10,5%. Знайдіть WACC.
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,6179. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,6179
z =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 20% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g20%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 11 елементів має середнє 91 і стандартне відхилення s = 20. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 11x̄ = 91s = 2099%t(10) = 3,169
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 28. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 28E = 195%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 50; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 20. Випадкова вибірка з 25 спостережень має середнє 42,08. Перевірте H₀: μ = 50 проти H₁: μ ≠ 50. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 50σ = 20n = 25x̄ = 42,08H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 4 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 28. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.
n = 5x = 7
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 23005 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Показник степеня
r·t = 0,02·7 = 0,14
e0,14 = 1,15
Майбутня вартість
FV = 20 000·1,15 = €23 005,48
Відповідь
FV = €23 005,48
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 56 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,0035/100 = 0,825
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,825)/ln(1,004) = 55,06
Округлення вгору до повних платежів
Після 55 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 56
Відповідь
N = 56 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 21494 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 29 000/1,06 = 27 358,49
CF2/(1 + 0,06)2 = 34 000/1,124 = 30 259,88
CF3/(1 + 0,06)3 = 18 000/1,191 = 15 113,15
CF4/(1 + 0,06)4 = 30 000/1,262 = 23 762,81
Додайте
NPV = €21 494,33
Відповідь
NPV = €21 494,33
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 20,74 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−6)/i = 80 000/24 500 = 3,265
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 20%: 3,326
i = 21%: 3,245
IRR = 20,74%
Відповідь
IRR = 20,74%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: c = 5,006 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,09)−12 = €355,53
Купон
C = (714 − 355,53)/7,161 = €50,06
Купонна ставка
c = 50,06/1000 = 5,006%
Відповідь
c = 5,006%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 6,995 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 060 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Чисельний розв’язок
P(6%) = €1 124,20, P(7%) = €1 059,71
YTM = 6,995%
Відповідь
YTM = 6,995%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,679 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблиця нормального розподілу
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Відповідь
P = 0,7257
11.Імовірність
Відповідь: σ = 2,406
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,25 + 2·0,3 + 4·0,1 + 6·0,35 = 3,1
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,3 + 16·0,1 + 36·0,35 = 15,4
Дисперсія
Var(X) = 15,4 − 3,1² = 5,79
σ = √5,79 = 2,406
Відповідь
σ = 2,406
12.Імовірність
Відповідь: σY = 3,768
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 3,5, Var(X) = 3,55, σX = 1,884
Лінійна зміна
σY = |−2|·1,884 = 3,768
Відповідь
σY = 3,768
Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·3,5 + 1 = −6.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = −0,3
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,6179 = 0,3821
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,3821 усередині таблиці й зчитайте z.
z = −0,30
Відповідь
z = −0,30
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 245,8 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,2
z з таблиці
z ≈ −0,84
Назад до початкових одиниць
x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g
Відповідь
x = 245,8 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 110,1
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Похибка оцінки
E = 3,169·20/√11 = 19,11
Інтервал
91 ± 19,11 → [71,89, 110,1]
Відповідь
верхня межа = 110,1
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 3012
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·28/1)² = 3012
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 3012
Відповідь
n = 3012
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,0477
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 20/√25 = 4
z = (42,08 − 50)/4 = −1,98
Площа хвоста
Φ(1,98) = 0,9761
1 − Φ(1,98) = 0,0239
p-значення
p = 2·0,0239 = 0,0477
Відповідь
p = 0,0477
p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 492
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 0,842)·28/4)² = 491,8
Округліть угору
n = 492
Відповідь
n = 492
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9922
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 533/6 = 88,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 355
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1829
Коефіцієнт кореляції
r = 355/√(70·1829) = 0,9922
Відповідь
r = 0,9922
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 48,05
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 222/5 = 44,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146
Лінія регресії
b = 146/40 = 3,65
a = 44,4 − 3,65·6 = 22,5
ŷ = 22,5 + 3,65·x
Прогноз
ŷ = 22,5 + 3,65·7 = 48,05
Відповідь
ŷ = 48,05
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.