Ви інвестуєте €3 000 під номінальну ставку 6 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 3 років.
PV = €3 0006% / 12n = 3
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €300 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 3 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 8? Знайдіть залишок боргу B.
P = €300 0003% / 12N = 240k = 96
B = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €500 000. Він приносить €39 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 4 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 11 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €500 000CF1 = €39 000g = 4%r = 11%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €40 000 і приносить €22 500, €19 500, €29 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 22 500CF2 = 19 500CF3 = 29 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 10 років. Її дохідність до погашення змінюється з 7% до 7,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 2%n = 10y1 = 7%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 15 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 6%) продається за €1 104. Емітент може достроково викупити її через 4 років за ціною викупу €1 060. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 6%P = €1 104ціна викупу = €1 060дострокове погашення через 4 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Її WACC 9,15%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 28%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 1,2. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,6. Ставка податку 30%, безризикова ставка 4%, ринкова премія за ризик 6,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re за нової структури капіталу.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 50. Знайдіть z-оцінку z для результату 475.
μ = 500σ = 50x = 475
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €50 з імовірністю 0,3 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€50: p = 0,3€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8324. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,8324
z =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 30% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 30 елементів має середнє 35 і стандартне відхилення s = 12. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 30x̄ = 35s = 1290%t(29) = 1,699
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 16 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 10,7 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 15 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 6,262 і 2,5 % — вище від 27,488.
n = 16s = 10,7 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 500; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 8. Випадкова вибірка з 64 спостережень має середнє 502,48. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ > 500. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 500σ = 8n = 64x̄ = 502,48H₁: μ > μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 36 вимірювань має середнє 99,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 99,9σ = 4n = 3695%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 42Σy = 98Σx² = 364Σy² = 1896Σxy = 828
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 24,5.
n = 5x = 24,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 3590 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 240 − 96 = 144
B = 1664·(1 − (1 + 0,0025)−144)/0,0025 = €200 992,94
Відповідь
B = €200 992,94
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 57143 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 39 000/(0,11 − 0,04) = 557 142,86
NPV
NPV = 557 142,86 − 500 000 = €57 142,86
Відповідь
NPV = €57 142,86
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 33,47 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 2 045,97
NPV(35%) = −846,92
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1104 = 60·(1 − (1 + y)−4)/y + 1060/(1 + y)4
Чисельний розв’язок
y = 4%: €1 123,89
y = 5%: €1 084,82
YTC = 4,503%
Відповідь
YTC = 4,503%
Дохідність до погашення 4,998%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 11 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
Частка боргу у WACC
0,25·5%·(1 − 0,28) = 0,9%
Вартість власного капіталу
re = (9,15% − 0,9%)/0,75 = 11%
Відповідь
re = 11%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 15,08 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Бета з урахуванням боргу
βL = 1,2·(1 + 0,7·0,6) = 1,704
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 1,704·6,5% = 15,08%
Відповідь
re = 15,08%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 14,15
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (475 − 500)/50 = −0,5
Відповідь
z = −0,5
11.Імовірність
Відповідь: σ = 11,58
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 40 (p = 0,3), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,69)
Математичне сподівання
E(G) = 40·0,3 + 90·0,01 − 10·0,69 = 6 €
Відповідь
E(G) = 6 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,38
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,8324)/2 = 0,9162
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9162 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,38
Відповідь
z = 1,38
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 247,4 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,3
z з таблиці
z ≈ −0,52
Назад до початкових одиниць
x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g
Відповідь
x = 247,4 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 3,722
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Похибка оцінки
E = 1,699·12/√30 = 3,722
Відповідь
E = 3,722
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 16,56 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 15·10,7² = 1717
Межі для σ²
1717/27,488 = 62,48
1717/6,262 = 274,2
Межа для σ
σ = √274,2 = 16,56 µm
Відповідь
σ = 16,56 µm
95 % інтервал для σ: [7,904, 16,56] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,006569
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 8/√64 = 1
z = (502,48 − 500)/1 = 2,48
Площа хвоста
Φ(2,48) = 0,9934
1 − Φ(2,48) = 0,0066
p-значення
p = 0,006569
Відповідь
p = 0,006569
p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 98,59
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·4/√36 = 1,307
Межа інтервалу
L = 99,9 − 1,307 = 98,59
Відповідь
L = 98,59
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9876
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 828 − 42·98/6 = 142
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1896 − 98²/6 = 295,3
Коефіцієнт кореляції
r = 142/√(70·295,3) = 0,9876
Відповідь
r = 0,9876
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 99,75
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 390/5 = 78
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 435
Лінія регресії
b = 435/90 = 4,833
a = 78 − 4,833·20 = −18,67
ŷ = −18,67 + 4,833·x
Прогноз
ŷ = −18,67 + 4,833·24,5 = 99,75
Відповідь
ŷ = 99,75
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.