Кредитна картка нараховує номінальну ставку 24 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 24%m = 12
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €25 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 6 років. Ставка — 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €25 0004,2% / 12N = 72
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €29 000, €25 000, €27 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €10 000 і приносить €6 500, €7 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 7 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Ви купуєте облігацію з 9 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 3%), коли її дохідність до погашення становить 8%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 9,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 9y0 = 8%y1 = 9,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 9 років і продається за €940. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 9P = €940
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €12 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,2. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1. Ставка податку 25%, безризикова ставка 1,5%, ринкова премія за ризик 6%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 30?
μ = 50σ = 20x = 30
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,15, 0,15, 0,25
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,6, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?
n = 7p = 0,6k = 5
P =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 240,25 і 254,25 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 250σ = 5x1 = 240,25x2 = 254,25
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 25 елементів має середнє 64,5 і стандартне відхилення s = 6,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 25x̄ = 64,5s = 6,590%t(24) = 1,711
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 27. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?
σ = 27E = 595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 36 студентів має середній бал 117 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117s = 20n = 36
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 100 вимірювань має середнє 47,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 15. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 47,9σ = 15n = 10090%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 26,82 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,24/12 = 0,02
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,02)12 − 1 = 1,268 − 1 = 26,82%
Відповідь
EAR = 26,82%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 393,4 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·6 = 72
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,7776
A = 25 000·0,0035/(1 − 0,7776) = €393,41
Відповідь
A = €393,41
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 8496 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 29 000/1,09 = 26 605,50
CF2/(1 + 0,09)2 = 25 000/1,188 = 21 042,00
CF3/(1 + 0,09)3 = 27 000/1,295 = 20 848,95
Додайте
NPV = €8 496,46
Відповідь
NPV = €8 496,46
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 22,26 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 277,78
NPV(25%) = −320,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 20 + 5·277,78/(277,78 − (−320,00)) = 22,32%
точно: NPV(22,26%) = 0 → IRR = 22,26%
Відповідь
IRR = 22,26%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = −1,575 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€940 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Чисельний розв’язок
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €937,53
YTM = 7,959%
Відповідь
YTM = 7,959%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,725 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·9% + 0,2·3,5%·(1 − 0,25) = 7,725%
Відповідь
WACC = 7,725%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 10,63 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1/(1 + 0,75·0,2) = 0,8696
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,8696·(1 + 0,75·1) = 1,522
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1,5% + 1,522·6% = 10,63%
Відповідь
re = 10,63%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 15,91
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,89
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
Імовірність
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
Відповідь
P = 0,9868
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 2,224
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 24, t = 1,711
Похибка оцінки
E = 1,711·6,5/√25 = 2,224
Відповідь
E = 2,224
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 113
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·27/5)² = 112
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 113
Відповідь
n = 113
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −0,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333
Статистика критерію
t = (117 − 120)/3,333 = −0,9
Відповідь
t = −0,9
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 50,37
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·15/√100 = 2,468
Межа інтервалу
U = 47,9 + 2,468 = 50,37
Відповідь
U = 50,37
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9933
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1950 − 36·278/6 = 282
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 14032 − 278²/6 = 1151
Коефіцієнт кореляції
r = 282/√(70·1151) = 0,9933
Відповідь
r = 0,9933
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 19,4
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 112/5 = 22,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20
Лінія регресії
b = −20/10 = −2
a = 22,4 − (−2)·3 = 28,4
ŷ = 28,4 − 2·x
Прогноз
ŷ = 28,4 + (−2)·4,5 = 19,4
Відповідь
ŷ = 19,4
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.