Кредитна картка нараховує номінальну ставку 25 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 25%m = 365
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €25 000 під 6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €425. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €25 000A = €4256% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €10 000, €10 000, €8 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €40 000 і приносить €20 000, €30 000, €19 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −40 000CF1 = 20 000CF2 = 30 000CF3 = 19 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 13 років і виплачує річні купони. Вона продається за €684, коли дохідність до погашення становить 8%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 13P = €684YTM = 8%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 5% двома піврічними платежами й погашається через 3 років. Вона продається за €1 072. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 5% (2×)n = 3P = €1 072
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Її WACC 9,36%, вартість боргу до оподаткування 6%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
Компанія має 4 000 000 акцій, що торгуються за €15,50; балансова вартість її власного капіталу €18 600 000. Вона щойно виплатила дивіденд €0,60 на акцію, і дивіденди зростають на 3% на рік. Її борг має ринкову вартість €31 000 000 і вартість до оподаткування 4,5%. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Величина розподілена нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Яка частка P значень більша за 420?
μ = 500σ = 100x = 420
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,2, 0,25, 0,2
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,6, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?
n = 8p = 0,6k = 5
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 9 з них перевищує 228 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9> 228 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).
μ = 32σ = 6P = 25%
x = min
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 13 елементів має середнє 81,5 і стандартне відхилення s = 2,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 13x̄ = 81,5s = 2,595%t(12) = 2,179
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 20. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?
σ = 20E = 2,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 49 студентів має середній бал 503,4 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 503,4s = 10n = 49
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 5 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 19. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 28,39 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,25/365 = 0,0006849
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0006849)365 − 1 = 1,284 − 1 = 28,39%
Відповідь
EAR = 28,39%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: N = 70 платежів
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,005/425 = 0,7059
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,7059)/ln(1,005) = 69,84
Округлення вгору до повних платежів
Після 69 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 70
Відповідь
N = 70 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 3366 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 10 000/1,1 = 9 090,91
CF2/(1 + 0,1)2 = 10 000/1,21 = 8 264,46
CF3/(1 + 0,1)3 = 8 000/1,331 = 6 010,52
Додайте
NPV = €3 365,89
Відповідь
NPV = €3 365,89
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 33,13 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(30%) = 1 784,25
NPV(35%) = −1 001,88
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,08)−13 = €367,70
Купон
C = (684 − 367,70)/7,904 = €40,02
Купонна ставка
c = 40,02/1000 = 4,002%
Відповідь
c = 4,002%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 2,494 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, N = 6
Чисельний розв’язок
i = 1,247% за півроку
YTM
YTM = 2·1,247% = 2,494%
Відповідь
YTM = 2,494%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 11 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
Частка боргу у WACC
0,25·6%·(1 − 0,258) = 1,113%
Вартість власного капіталу
re = (9,36% − 1,113%)/0,75 = 11%
Відповідь
re = 11%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,738 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,8
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Відповідь
P = 0,7881
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 5,24
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,35 + 2·0,2 + 4·0,25 + 6·0,2 = 2,6
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,35 + 4·0,2 + 16·0,25 + 36·0,2 = 12
Дисперсія
Var(X) = 12 − 2,6² = 5,24
Відповідь
Var(X) = 5,24
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,2787
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 225 kg, σT = 0,5·√9 = 1,5 kg
Стандартизуйте
z = (228 − 225)/1,5 = 2
Імовірність
P = 1 − Φ(2) = 0,02275
Відповідь
P = 0,02275
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 27,95 min
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Назад до x
x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min
Відповідь
x = 27,95 min
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 79,99
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 12, t = 2,179
Похибка оцінки
E = 2,179·2,5/√13 = 1,511
Інтервал
81,5 ± 1,511 → [79,99, 83,01]
Відповідь
нижня межа = 79,99
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 246
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·20/2,5)² = 245,9
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 246
Відповідь
n = 246
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,38
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429
Статистика критерію
t = (503,4 − 500)/1,429 = 2,38
Відповідь
t = 2,38
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 90
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 0,842)·19/5)² = 89,31
Округліть угору
n = 90
Відповідь
n = 90
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9921
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 725/6 = 120,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 934,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 5589
Коефіцієнт детермінації
r² = 934,5²/(157,5·5589) = 0,9921
Відповідь
r² = 0,9921
Близько 99,21% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 14,55
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 81/5 = 16,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Лінія регресії
b = −33/10 = −3,3
a = 16,2 − (−3,3)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 3,3·x
Прогноз
ŷ = 26,1 + (−3,3)·3,5 = 14,55
Відповідь
ŷ = 14,55
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.