Кредитна картка нараховує номінальну ставку 18 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 18%m = 365
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €10 000 через 8 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 6 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €10 0006% / 12N = 96
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €500 000. Він приносить €65 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €500 000CF1 = €65 000g = 2%r = 12%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Інвестиція €80 000 приносить €17 000 наприкінці кожного року протягом 9 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €80 000CF = €17 000n = 9
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 8%n = 7
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% двома піврічними платежами й погашається через 7 років. Вона продається за €1 032. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.
F = €1 000купон = 3% (2×)n = 7P = €1 032
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанія має власний капітал вартістю €8 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Її WACC 6,84%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 25%. Знайдіть вартість власного капіталу re.
У компанії 2 500 000 акцій по €42,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 20%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 60. Знайдіть z-оцінку z для результату 620.
μ = 500σ = 60x = 620
z =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 6 осіб? Порядок не має значення.
n = 6k = 4
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €20 з імовірністю 0,1 і €100 з імовірністю 0,01; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€20: p = 0,1€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7775. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,7775
z =
14.Нормальний розподілСкладна
маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 85% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 11 елементів має середнє 77,5 і стандартне відхилення s = 7. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 95 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 11x̄ = 77,5s = 795%t(10) = 2,228
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 19. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?
σ = 19E = 1,595%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 500; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 30. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 502,95. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ > 500. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 500σ = 30n = 144x̄ = 502,95H₁: μ > μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 45 з 100 пацієнтів, які отримували лікування A, і 66 з 120 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 45n₁ = 100x₂ = 66n₂ = 120
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 65?
n = 5ŷ = 65
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 19,72 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,18/365 = 0,0004932
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0004932)365 − 1 = 1,197 − 1 = 19,72%
Відповідь
EAR = 19,72%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 81,41 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 65 000/(0,12 − 0,02) = 650 000,00
NPV
NPV = 650 000,00 − 500 000 = €150 000,00
Відповідь
NPV = €150 000,00
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 15,39 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−9)/i = 80 000/17 000 = 4,706
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 15%: 4,772
i = 16%: 4,607
IRR = 15,39%
Відповідь
IRR = 15,39%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 894,4 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, i = 0,04, N = 14
Теперішня вартість купонів
€30,00·(1 − 0,5775)/0,04 = €316,89
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5775 = €577,48
Ціна
P = €894,37
Відповідь
P = €894,37
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 2,499 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €15,00, N = 14
Чисельний розв’язок
i = 1,249% за півроку
YTM
YTM = 2·1,249% = 2,499%
Відповідь
YTM = 2,499%
7.CAPM і WACC
Відповідь: re = 7,999 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727
Частка боргу у WACC
0,2727·5%·(1 − 0,25) = 1,023%
Вартість власного капіталу
re = (6,84% − 1,023%)/0,7273 = 7,999%
Відповідь
re = 7,999%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 12,13 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (620 − 500)/60 = 2
Відповідь
z = 2
11.Імовірність
Відповідь: N = 15
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Відповідь
N = 15
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −7 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 10 (p = 0,1), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,89)
Математичне сподівання
E(G) = 10·0,1 + 90·0,01 − 10·0,89 = −7 €
Відповідь
E(G) = −7 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,22
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,7775)/2 = 0,8888
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,8888 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,22
Відповідь
z = 1,22
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 244,8 g
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,15
z з таблиці
z ≈ −1,04
Назад до початкових одиниць
x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g
Відповідь
x = 244,8 g
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 4,702
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 10, t = 2,228
Похибка оцінки
E = 2,228·7/√11 = 4,702
Відповідь
E = 4,702
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 617
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·19/1,5)² = 616,4
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 617
Відповідь
n = 617
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,119
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 30/√144 = 2,5
z = (502,95 − 500)/2,5 = 1,18
Площа хвоста
Φ(1,18) = 0,8810
1 − Φ(1,18) = 0,1190
p-значення
p = 0,119
Відповідь
p = 0,119
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −1,477
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 45/100 = 0,45
p̂₂ = 66/120 = 0,55
p̂ = 111/220 = 0,5045
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,5045·0,4955·(1/100 + 1/120)) = 0,0677
Статистика критерію
z = (0,45 − 0,55)/0,0677 = −1,477
Відповідь
z = −1,477
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9891
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 12399 − 147·480/6 = 639
Sxx = 3759 − 147²/6 = 157,5
Syy = 41050 − 480²/6 = 2650
Коефіцієнт кореляції
r = 639/√(157,5·2650) = 0,9891
Відповідь
r = 0,9891
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 9,909
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 285/5 = 57
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110
Лінія регресії
b = 110/40 = 2,75
a = 57 − 2,75·7 = 37,75
ŷ = 37,75 + 2,75·x
Розв’яжіть щодо x
x = (65 − 37,75)/2,75 = 9,909
Відповідь
x = 9,909
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.