Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €8 000 під номінальну ставку 4 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 7 років.

PV = €8 0004% / 12n = 7

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 28 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 4 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 28? Знайдіть FV.

A = €6 000i = 4%n = 28

FV = €

3.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €60 000. Він приносить €12 000 наприкінці кожного року протягом 7 років, а потім його можна продати за €9 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €60 000CF = €12 000S = €9 000n = 7r = 6%

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €10 000, €18 500, €17 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 000CF₂ = 18 500CF₃ = 17 500

IRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 погашається через 11 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 315, коли дохідність до погашення становить 3,5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.

F = €1 000n = 11P = €1 315YTM = 3,5%

c = %

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 4% погашається через 8 років і продається за €935. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 4%n = 8P = €935

YTM = %

7.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 13%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 1 000 000 акцій по €39,00 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 1%, ринкова дохідність — 5,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,2r_f = 1%r_m = 5,5%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 31, 24, 24, 24, 20, 42.

n = 6

s =

10.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 65?

μ = 50σ = 10x = 65

P =

11.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 6 осіб? Порядок не має значення.

n = 6k = 3

N =

12.ІмовірністьСкладна

Тестують 6 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,5. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 6p = 0,5

P =

13.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7457. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,7457

z =

14.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 20% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h20%

x = h

15.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 21 елементів має середнє 12,5 і стандартне відхилення s = 14. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 21x̄ = 12,5s = 1499%t(20) = 2,845

нижня межа =

16.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 12 ділянок, середній урожай 97 kg, стандартне відхилення 5,5 kg. Група ділянок 2: 14 ділянок, середнє 85 kg, стандартне відхилення 6,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 97s₁ = 5,5n₂ = 14x̄₂ = 85s₂ = 6,599%t(24) = 2,797

верхня межа = kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 80 деталей має середню довжину 109,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 5 mm. Лінія 2: вибірка з 60 деталей має середнє 111 mm, відоме стандартне відхилення 10 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 80x̄₁ = 109,5 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 60x̄₂ = 111 mmσ₂ = 10 mm

z =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 64; стандартне відхилення відоме й дорівнює 20. Насправді середнє дорівнює 497. Знайдіть імовірність помилки другого роду β у відсотках.

μ₀ = 500μ = 497σ = 20n = 64α = 0,10

β = %

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 6?

n = 5ŷ = 6

x =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 10580 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·7 = 84

Майбутня вартість

FV = 8 000·(1 + 0,003333)⁸⁴ = 8 000·1,323 = €10 580,11

Відповідь

FV = €10 580,11

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 311798 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,04)²⁸ − 1)/0,04 = 49,97

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 6 000·49,97·1,04 = €311 797,72

Відповідь

FV = €311 797,72

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 12974 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

12 000·5,582 = 66 988,58

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

9 000/1,504 = 5 985,51

NPV

NPV = −60 000 + 66 988,58 + 5 985,51 = €12 974,09

Відповідь

NPV = €12 974,09

4.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 34,1 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(30%) = 1 604,46

NPV(35%) = −328,96

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 30 + 5·1 604,46/(1 604,46 − (−328,96)) = 34,15%

точно: NPV(34,1%) = 0 → IRR = 34,1%

Відповідь

IRR = 34,1%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: c = 6,999 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Теперішня вартість номіналу

1000·(1 + 0,035)⁻¹¹ = €684,95

Купон

C = (1315 − 684,95)/9,002 = €69,99

Купонна ставка

c = 69,99/1000 = 6,999%

Відповідь

c = 6,999%

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 5,006 %

Рівняння для дохідності

€935 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Чисельний розв’язок

P(5%) = €935,37, P(6%) = €875,80

YTM = 5,006%

Відповідь

YTM = 5,006%

7.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 9,24 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·13% + 0,4·4,5%·(1 − 0,2) = 9,24%

Відповідь

WACC = 9,24%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,089 %

Ринкові вартості

E = 1 000 000·€39,00 = €39 000 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 1% + 1,2·4,5% = 6,4%

Ваги

V = €49 200 000, E/V = 0,7927, D/V = 0,2073

WACC

WACC = 0,7927·6,4% + 0,2073·7%·(1 − 0,3) = 6,089%

Відповідь

WACC = 6,089%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 7,944

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 165/6 = 27,5

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 3,5² + (−3,5)² + (−3,5)² + (−3,5)² + (−7,5)² + 14,5² = 315,5

Стандартне відхилення

s = √(315,5/5) = 7,944

Відповідь

s = 7,944

10.Описова статистика

Відповідь: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Відповідь

P = 0,06681

11.Імовірність

Відповідь: N = 20

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Відповідь

N = 20

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,1094

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,5⁶ = 0,01563

P(X = 1) = 6·0,5·0,5⁵ = 0,09375

Додайте

P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094

Відповідь

P = 0,1094

13.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,14

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,7457)/2 = 0,8729

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8729 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,14

Відповідь

z = 1,14

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 534 h

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 500 + 0,84·40 = 534 h

Відповідь

x = 534 h

15.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 3,808

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Похибка оцінки

E = 2,845·14/√21 = 8,692

Інтервал

12,5 ± 8,692 → [3,808, 21,19]

Відповідь

нижня межа = 3,808

16.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 18,67 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (11·5,5² + 13·6,5²)/24 = 36,75

s_p = 6,062

Похибка оцінки

E = 2,797·6,062·√(1/12 + 1/14) = 6,67

Інтервал

12 ± 6,67 → [5,33, 18,67]

Відповідь

верхня межа = 18,67 kg

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,066

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(5²/80 + 10²/60) = √1,979 = 1,407

Статистика критерію

z = (109,5 − 111)/1,407 = −1,066

Відповідь

z = −1,066

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: β = 53,27 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 500 − 1,282·2,5 = 496,8

z при справжньому середньому

z = (496,8 − 497)/2,5 = −0,082

Помилка другого роду

потужність = P(Z < −0.082) = 46.73%

β = 100% − 46,73% = 53,27%

Відповідь

β = 53,27%

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,5

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 172/5 = 34,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 14

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 39,2

Коефіцієнт детермінації

r² = 14²/(10·39,2) = 0,5

Відповідь

r² = 0,5

Близько 50% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 2,933

Середні

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 53/5 = 10,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

Лінія регресії

b = 60/40 = 1,5

a = 10,6 − 1,5·6 = 1,6

ŷ = 1,6 + 1,5·x

Розв’яжіть щодо x

x = (6 − 1,6)/1,5 = 2,933

Відповідь

x = 2,933

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income