Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €10 000. Очікується, що дохід зростатиме на 2,5 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 6,5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €10 000g = 2,5%r = 6,5%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 12 років. Рахунок дає 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €504,2% / 12N = 144
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €500 000. Він приносить €60 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €500 000CF1 = €60 000g = 2%r = 12%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Інвестиція €20 000 приносить €6 000 наприкінці кожного року протягом 4 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €20 000CF = €6 000n = 4
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 5,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 5,5%n = 3
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 8 років і продається за €1 125. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 8P = €1 125
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 9%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €15,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 20%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 6%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 8. Яка частка P значень менша за 38?
μ = 50σ = 8x = 38
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 3 осіб із групи з 14 осіб? Порядок не має значення.
n = 14k = 3
N =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €3 з імовірністю 0,15 і €10 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €1€3: p = 0,15€10: p = 0,05
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9127. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,9127
z =
14.Нормальний розподілСкладна
результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 70% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 100 балівσ = 15 балів70%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 64 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 5,5. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за тими самими даними?
90%n₁ = 64E₁ = 5,599%
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Діаметри 30 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 4,8 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 29 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 16,047 і 2,5 % — вище від 45,722.
n = 30s = 4,8 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 500; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 9. Випадкова вибірка з 36 спостережень має середнє 497,48. Перевірте H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 500σ = 9n = 36x̄ = 497,48H₁: μ < μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 49 вимірювань має середнє 198,8. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть нижню межу L 95 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 198,8σ = 4n = 4995%
L =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 5,5.
n = 5x = 5,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 250000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 60 000/(0,12 − 0,02) = 600 000,00
NPV
NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00
Відповідь
NPV = €100 000,00
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 7,714 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−4)/i = 20 000/6 000 = 3,333
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 7%: 3,387
i = 8%: 3,312
IRR = 7,714%
Відповідь
IRR = 7,714%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1014 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, i = 0,0275, N = 6
Теперішня вартість купонів
€30,00·(1 − 0,8498)/0,0275 = €163,87
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8498 = €849,78
Ціна
P = €1 013,66
Відповідь
P = €1 013,66
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 5,988 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 125 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Чисельний розв’язок
P(5%) = €1 193,90, P(6%) = €1 124,20
YTM = 5,988%
Відповідь
YTM = 5,988%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,525 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·9% + 0,375·3%·(1 − 0,2) = 6,525%
Відповідь
WACC = 6,525%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,356 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 500 000·€15,50 = €38 750 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2% + 1,3·4% = 7,2%
Ваги
V = €59 750 000, E/V = 0,6485, D/V = 0,3515
WACC
WACC = 0,6485·7,2% + 0,3515·6%·(1 − 0,2) = 6,356%
Відповідь
WACC = 6,356%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 18,55
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Відповідь
P = 0,06681
11.Імовірність
Відповідь: N = 364
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364
Відповідь
N = 364
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −0,05 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 2 (p = 0,15), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)
Математичне сподівання
E(G) = 2·0,15 + 9·0,05 − 1·0,8 = −0,05 €
Відповідь
E(G) = −0,05 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,71
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,9127)/2 = 0,9564
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9564 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,71
Відповідь
z = 1,71
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 107,8 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,7
z з таблиці
z ≈ 0,52
Назад до початкових одиниць
x = 100 + 0,52·15 = 107,8 балів
Відповідь
x = 107,8 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 8,613
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/64) = 1,566
Нова похибка
E₂ = 5,5·1,566 = 8,613
Відповідь
E₂ = 8,613
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 3,823 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 29·4,8² = 668,2
Межі для σ²
668,2/45,722 = 14,61
668,2/16,047 = 41,64
Межа для σ
σ = √14,61 = 3,823 µm
Відповідь
σ = 3,823 µm
95 % інтервал для σ: [3,823, 6,453] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,04648
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 9/√36 = 1,5
z = (497,48 − 500)/1,5 = −1,68
Площа хвоста
Φ(1,68) = 0,9535
1 − Φ(1,68) = 0,0465
p-значення
p = 0,04648
Відповідь
p = 0,04648
p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: L = 197,7
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,96·4/√49 = 1,12
Межа інтервалу
L = 198,8 − 1,12 = 197,7
Відповідь
L = 197,7
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9895
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 19423 − 141·790/6 = 858
Sxx = 3471 − 141²/6 = 157,5
Syy = 108790 − 790²/6 = 4773
Коефіцієнт кореляції
r = 858/√(157,5·4773) = 0,9895
Відповідь
r = 0,9895
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 74,5
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 358/5 = 71,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58
Лінія регресії
b = 58/10 = 5,8
a = 71,6 − 5,8·5 = 42,6
ŷ = 42,6 + 5,8·x
Прогноз
ŷ = 42,6 + 5,8·5,5 = 74,5
Відповідь
ŷ = 74,5
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.