Через 6 років вам потрібно €15 000. Рахунок дає 3,6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €15 0003,6% / 4n = 6
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €12 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 3,6 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €12 0003,6% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €250 000. Він приносить €18 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 11 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €250 000CF1 = €18 000g = 2%r = 11%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Інвестиція €80 000 приносить €11 500 наприкінці кожного року протягом 8 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
C0 = €80 000CF = €11 500n = 8
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 12 років. Дохідність до погашення — 3% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4%YTM = 3%n = 12
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 4 років і продається за €910. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 3%n = 4P = €910
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 0,6 має необхідну дохідність 6,8%. Безризикова ставка 3,5%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 0,6re = 6,8%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має 1 000 000 акцій, що торгуються за €51,50; балансова вартість її власного капіталу €15 500 000. Вона щойно виплатила дивіденд €3,00 на акцію, і дивіденди зростають на 3% на рік. Її борг має ринкову вартість €30 900 000 і вартість до оподаткування 4,5%. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.
Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 42,5?
μ = 50σ = 15x = 42,5
P =
11.ІмовірністьСередня
Скількома способами N можна обрати комісію з 4 осіб із групи з 13 осіб? Порядок не має значення.
n = 13k = 4
N =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,6, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 8p = 0,6k = 2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,3594. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,3594
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 97,5%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 7 елементів має середнє 116 і стандартне відхилення s = 4. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 7x̄ = 116s = 490%t(6) = 1,943
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 14 ділянок, середній урожай 30 kg, стандартне відхилення 9 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 26 kg, стандартне відхилення 4,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Вибірка з 16 студентів має середній бал 192,3 і вибіркове стандартне відхилення 10. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 192,3s = 10n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1,5? Стандартне відхилення — 12. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 12E = 1,590%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 21). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 21)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 12098 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·6 = 24
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,24 = €12 097,71
Відповідь
PV = €12 097,71
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 268,8 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8661
A = 12 000·0,003/(1 − 0,8661) = €268,81
Відповідь
A = €268,81
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −50000 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 18 000/(0,11 − 0,02) = 200 000,00
NPV
NPV = 200 000,00 − 250 000 = −€50 000,00
Відповідь
NPV = −€50 000,00
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 3,215 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Потрібний коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−8)/i = 80 000/11 500 = 6,957
Знайдіть ставку
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
i = 3%: 7,02
i = 4%: 6,733
IRR = 3,215%
Відповідь
IRR = 3,215%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1100 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €20,00, i = 0,015, N = 24
Теперішня вартість купонів
€20,00·(1 − 0,6995)/0,015 = €400,61
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6995 = €699,54
Ціна
P = €1 100,15
Відповідь
P = €1 100,15
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 5,572 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€910 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(5%) = €929,08, P(6%) = €896,05
YTM = 5,572%
Відповідь
YTM = 5,572%
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 9 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (6,8% − 3,5%)/0,6 = 5,5%
Ринкова дохідність
rm = 3,5% + 5,5% = 9%
Відповідь
rm = 9%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 6,877 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість власного капіталу
D1 = 3·1,03 = €3,09
re = 3,09/51,5 + 0,03 = 9%
Ринкові вартості
E = 1 000 000·€51,50 = €51 500 000
V = €82 400 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·9% + 0,375·4,5%·(1 − 0,258) = 6,877%
Відповідь
WACC = 6,877%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 14,54
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Відповідь
P = 0,6915
11.Імовірність
Відповідь: N = 715
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715
Відповідь
N = 715
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,04129
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,3594 = 0,6406
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,6406 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 0,36
Відповідь
z = 0,36
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 129,4 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Назад до x
x = 100 + 1,96·15 = 129,4 балів
Відповідь
x = 129,4 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 2,938
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Похибка оцінки
E = 1,943·4/√7 = 2,938
Відповідь
E = 2,938
16.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = −6,413 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (13·9² + 6·4,5²)/19 = 61,82
sp = 7,862
Похибка оцінки
E = 2,861·7,862·√(1/14 + 1/7) = 10,41
Інтервал
4 ± 10,41 → [−6,413, 14,41]
Відповідь
нижня межа = −6,413 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,08
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5
Статистика критерію
t = (192,3 − 200)/2,5 = −3,08
Відповідь
t = −3,08
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 174
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,645·12/1,5)² = 173,2
Округліть угору
n = 174
Відповідь
n = 174
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9492
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 310/5 = 62
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 231
Syy = Σ(y − ȳ)² = 658
Коефіцієнт кореляції
r = 231/√(90·658) = 0,9492
Відповідь
r = 0,9492
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 2
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 99/5 = 19,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Лінія регресії
b = −16/10 = −1,6
a = 19,8 − (−1,6)·3 = 24,6
ŷ = 24,6 − 1,6·x
Прогнозоване значення
ŷ = 24,6 + (−1,6)·3,5 = 19
Залишок
e = 21 − 19 = 2
Відповідь
e = 2
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.