Через 2 років вам потрібно €15 000. Рахунок дає 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €15 0002% / 4n = 2
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 24 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 8 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 24? Знайдіть FV.
A = €6 000i = 8%n = 24
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €500 000. Він приносить €44 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 3 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 11 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €500 000CF1 = €44 000g = 3%r = 11%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт A коштує €30 000 і приносить €17 500, €12 000, €7 000 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €35 000 і приносить €9 000, €15 000, €20 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Ви купуєте облігацію з 3 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 8%), коли її дохідність до погашення становить 6%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 7%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 3y0 = 6%y1 = 7%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 15 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 5%) продається за €1 111. Емітент може достроково викупити її через 4 років за ціною викупу €1 050. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 5%P = €1 111ціна викупу = €1 050дострокове погашення через 4 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 10%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,2 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 25,8%, безризикова ставка 4%, ринкова премія за ризик 7%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 210?
μ = 170σ = 20x = 210
P =
11.ІмовірністьСередня
Правильний кубик кидають 2 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?
n = 2
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,1, незалежно. Яка ймовірність P рівно 5 правильних відповідей?
n = 7p = 0,1k = 5
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8098. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,8098
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 9 елементів має середнє 80,5 і стандартне відхилення s = 17,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 9x̄ = 80,5s = 17,599%t(8) = 3,355
верхня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 6 ділянок, середній урожай 84,5 kg, стандартне відхилення 7,5 kg. Група ділянок 2: 6 ділянок, середнє 78,5 kg, стандартне відхилення 1 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 6. Випадкова вибірка з 144 спостережень має середнє 119,14. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ ≠ 120. Знайдіть p-значення p.
μ₀ = 120σ = 6n = 144x̄ = 119,14H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 3 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 26. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (2,5, 51). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(2,5, 51)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 14413 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·2 = 8
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,041 = €14 413,28
Відповідь
PV = €14 413,28
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 432636 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,08)24 − 1)/0,08 = 66,76
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 6 000·66,76·1,08 = €432 635,64
Відповідь
FV = €432 635,64
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 50000 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 44 000/(0,11 − 0,03) = 550 000,00
NPV
NPV = 550 000,00 − 500 000 = €50 000,00
Відповідь
NPV = €50 000,00
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 8,082 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 000 − 17 500 = −8 500
ΔCF2 = 15 000 − 12 000 = 3 000
ΔCF3 = 20 000 − 7 000 = 13 000
IRR різниці
NPVΔ(8%) = 21,47
NPVΔ(9%) = −234,74
r* = 8,082%
Відповідь
r* = 8,082%
Перевірка: при 8,082% обидві NPV дорівнюють €2 007,94.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = 4,236 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1111 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
Чисельний розв’язок
y = 3%: €1 118,77
y = 4%: €1 079,04
YTC = 3,192%
Відповідь
YTC = 3,192%
Дохідність до погашення 4,002%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,689 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·10% + 0,2308·6%·(1 − 0,28) = 8,689%
Відповідь
WACC = 8,689%
8.CAPM і WACC
Відповідь: re = 17,69 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,2/(1 + 0,742·0,4) = 0,9254
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,9254·(1 + 0,742·1,5) = 1,955
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 4% + 1,955·7% = 17,69%
Відповідь
re = 17,69%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 13,75
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 2
Таблиця нормального розподілу
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Відповідь
P = 0,9772
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,3056
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Протилежна подія
P(немає шістки) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Відповідь
P = 0,3056
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,0001701
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,8098)/2 = 0,9049
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,9049 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,31
Відповідь
z = 1,31
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9207
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02121 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,02121 = −1,41
Імовірність
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Відповідь
P = 0,9207
15.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 100,1
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Похибка оцінки
E = 3,355·17,5/√9 = 19,57
Інтервал
80,5 ± 19,57 → [60,93, 100,1]
Відповідь
верхня межа = 100,1
16.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 0,4028 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (5·7,5² + 5·1²)/10 = 28,63
sp = 5,35
Похибка оцінки
E = 1,812·5,35·√(1/6 + 1/6) = 5,597
Інтервал
6 ± 5,597 → [0,4028, 11,6]
Відповідь
нижня межа = 0,4028 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: p = 0,08543
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерію
SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5
z = (119,14 − 120)/0,5 = −1,72
Площа хвоста
Φ(1,72) = 0,9573
1 − Φ(1,72) = 0,0427
p-значення
p = 2·0,0427 = 0,08543
Відповідь
p = 0,08543
p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 465
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 0,842)·26/3)² = 464,6
Округліть угору
n = 465
Відповідь
n = 465
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9577
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 2202 − 33·385/6 = 84,5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 25149 − 385²/6 = 444,8
Коефіцієнт кореляції
r = 84,5/√(17,5·444,8) = 0,9577
Відповідь
r = 0,9577
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 3,2
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 254/5 = 50,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 20
Лінія регресії
b = 20/10 = 2
a = 50,8 − 2·4 = 42,8
ŷ = 42,8 + 2·x
Прогнозоване значення
ŷ = 42,8 + 2·2,5 = 47,8
Залишок
e = 51 − 47,8 = 3,2
Відповідь
e = 3,2
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.