Через 3 років вам потрібно €25 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €25 0006% / 12n = 3
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Іпотечний кредит €250 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 8? Знайдіть залишок боргу B.
P = €250 0005,4% / 12N = 240k = 96
B = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €22 000, €19 000, €17 000, €19 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €33 500, €31 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 33 500CF2 = 31 500
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 2%YTM = 9%n = 11
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 15 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 9%) продається за €1 132. Емітент може достроково викупити її через 6 років за ціною викупу €1 090. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 9%P = €1 132ціна викупу = €1 090дострокове погашення через 6 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
Акція з бетою 1,4 має необхідну дохідність 12,8%. Безризикова ставка 3%. Яку очікувану ринкову дохідність rm передбачає CAPM?
β = 1,4re = 12,8%rf = 3%
rm = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 500 000 акцій по €44,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €960 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,5, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 104,8.
μ = 100σ = 8x = 104,8
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,2, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?
n = 7p = 0,2k = 3
P =
13.Нормальний розподілСередня
Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 6 з них перевищує 149,4 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6> 149,4 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
отвір: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 13 елементів має середнє 28,5 і стандартне відхилення s = 6. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 13x̄ = 28,5s = 690%t(12) = 1,782
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 24. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?
σ = 24E = 490%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 49 студентів має середній бал 97,79 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 97,79s = 5n = 49
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 1 одиниць із потужністю 80 %. Стандартне відхилення 8. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 21,5.
n = 6x = 21,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 20891 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·3 = 36
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,197 = €20 891,12
Відповідь
PV = €20 891,12
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: B = 180474 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.
N − k = 240 − 96 = 144
B = 1706·(1 − (1 + 0,0045)−144)/0,0045 = €180 473,80
Відповідь
B = €180 473,80
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 17763 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 22 000/1,09 = 20 183,49
CF2/(1 + 0,09)2 = 19 000/1,188 = 15 991,92
CF3/(1 + 0,09)3 = 17 000/1,295 = 13 127,12
CF4/(1 + 0,09)4 = 19 000/1,412 = 13 460,08
Додайте
NPV = €17 762,60
Відповідь
NPV = €17 762,60
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 19,65 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(15%) = 2 948,96
NPV(20%) = −208,33
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €10,00, i = 0,045, N = 22
Теперішня вартість купонів
€10,00·(1 − 0,3797)/0,045 = €137,84
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,3797 = €379,70
Ціна
P = €517,55
Відповідь
P = €517,55
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 7,438 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1132 = 90·(1 − (1 + y)−6)/y + 1090/(1 + y)6
Чисельний розв’язок
y = 7%: €1 155,30
y = 8%: €1 102,94
YTC = 7,438%
Відповідь
YTC = 7,438%
Дохідність до погашення 7,504%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: rm = 10 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкова премія за ризик
rm − rf = (12,8% − 3%)/1,4 = 7%
Ринкова дохідність
rm = 3% + 7% = 10%
Відповідь
rm = 10%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,994 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (104,8 − 100)/8 = 0,6
Відповідь
z = 0,6
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,548
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,05 + 4·0,35 = 2,45
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,05 + 16·0,35 = 7,55
Дисперсія
Var(X) = 7,55 − 2,45² = 1,548
Відповідь
Var(X) = 1,548
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,1147
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 150 kg, σT = 0,5·√6 = 1,225 kg
Стандартизуйте
z = (149,4 − 150)/1,225 = −0,49
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,49) = 0,6879
Відповідь
P = 0,6879
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8133
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Відповідь
P = 0,8133
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 2,965
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Похибка оцінки
E = 1,782·6/√13 = 2,965
Відповідь
E = 2,965
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 98
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·24/4)² = 97,42
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 98
Відповідь
n = 98
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −3,094
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Статистика критерію
t = (97,79 − 100)/0,7143 = −3,094
Відповідь
t = −3,094
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 643
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((2,326 + 0,842)·8/1)² = 642,3
Округліть угору
n = 643
Відповідь
n = 643
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9268
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 276/5 = 55,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150
Syy = Σ(y − ȳ)² = 654,8
Коефіцієнт кореляції
r = 150/√(40·654,8) = 0,9268
Відповідь
r = 0,9268
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 123,2
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 739/6 = 123,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 886,5
Лінія регресії
b = 886,5/157,5 = 5,629
a = 123,2 − 5,629·21,5 = 2,152
ŷ = 2,152 + 5,629·x
Прогноз
ŷ = 2,152 + 5,629·21,5 = 123,2
Відповідь
ŷ = 123,2
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.