Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €2 000. Очікується, що дохід зростатиме на 2 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 6 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €2 000g = 2%r = 6%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €8 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 3 років. Ставка — 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €8 0007,2% / 12N = 36
A = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €30 000. Він приносить €5 000 наприкінці кожного року протягом 8 років, а потім його можна продати за €4 500. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €30 000CF = €5 000S = €4 500n = 8r = 12%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €50 000 і приносить €22 500, €17 500, €16 500, €15 000 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Ви купуєте облігацію з 7 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 6%), коли її дохідність до погашення становить 3%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 4,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.
F = €1 000купон = 6%n = 7y0 = 3%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% і погашається через 3 років. Дохідність до погашення 4%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 3%n = 3YTM = 4%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,25. Вартість власного капіталу 11%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,25re = 11%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Компанія має власний капітал ринковою вартістю €15 000 000 і вартістю власного капіталу 9%. Її борг складається з 2 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 5%, 9 років до погашення), кожна з яких торгується за €1 036. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.
Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 34?
μ = 50σ = 20x = 34
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,3, 0,3
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €5. Ви виграєте €10 з імовірністю 0,1 і €50 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €5€10: p = 0,1€50: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 76 і 127 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 100σ = 15x1 = 76x2 = 127
P =
14.Нормальний розподілСкладна
бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 75% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 65 балівσ = 10 балів75%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 10 елементів має середнє 94,5 і стандартне відхилення s = 2. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 10x̄ = 94,5s = 299%t(9) = 3,25
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 36. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?
σ = 36E = 299%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 81 студентів має середній бал 504,7 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 504,7s = 20n = 81
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 5 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 25. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 5Σx = 30Σy = 118Σx² = 220Σy² = 3382Σxy = 862
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 20?
n = 5ŷ = 20
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 50000 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·3 = 36
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8063
A = 8 000·0,006/(1 − 0,8063) = €247,75
Відповідь
A = €247,75
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −3344 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
5 000·4,968 = 24 838,20
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
4 500/2,476 = 1 817,47
NPV
NPV = −30 000 + 24 838,20 + 1 817,47 = −€3 344,33
Відповідь
NPV = −€3 344,33
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 12,1 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
22 500·1,063 = 26 797,86
17 500·1,062 = 19 663,00
16 500·1,061 = 17 490,00
15 000·1,060 = 15 000,00
TV = 78 950,86
MIRR
MIRR = (78 950,86/50 000)1/4 − 1 = 12,1%
Відповідь
MIRR = 12,1%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: HPR = −4,174 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 30/1,04 = 28,85, t·PV = 28,85
t = 2: 30/1,082 = 27,74, t·PV = 55,47
t = 3: 1030/1,125 = 915,67, t·PV = 2 747,00
Дюрація
P = 972,25
D = 2 831,32/972,25 = 2,912
Відповідь
D = 2,912 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,468 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·11% + 0,2·4,5%·(1 − 0,258) = 9,468%
Відповідь
WACC = 9,468%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,301 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,8
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Відповідь
P = 0,2119
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,21
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,7
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,5
Дисперсія
Var(X) = 8,5 − 2,7² = 1,21
Відповідь
Var(X) = 1,21
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = −3 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 5 (p = 0,1), 45 (p = 0,02), −5 (p = 0,88)
Математичне сподівання
E(G) = 5·0,1 + 45·0,02 − 5·0,88 = −3 €
Відповідь
E(G) = −3 €
Від’ємне значення означає, що в середньому ви втрачаєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9093
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (76 − 100)/15 = −1,6
z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8
Площа між
P = Φ(1,8) − Φ(−1,6) = 0,9641 − 0,0548 = 0,9093
Відповідь
P = 0,9093
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 71,7 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,75
z з таблиці
z ≈ 0,67
Назад до початкових одиниць
x = 65 + 0,67·10 = 71,7 балів
Відповідь
x = 71,7 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 92,44
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Похибка оцінки
E = 3,25·2/√10 = 2,055
Інтервал
94,5 ± 2,055 → [92,44, 96,56]
Відповідь
нижня межа = 92,44
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 2150
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·36/2)² = 2150
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 2150
Відповідь
n = 2150
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,115
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222
Статистика критерію
t = (504,7 − 500)/2,222 = 2,115
Відповідь
t = 2,115
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 215
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Виразіть n
n = ((1,645 + 1,282)·25/5)² = 214,2
Округліть угору
n = 215
Відповідь
n = 215
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9964
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 862 − 30·118/5 = 154
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3382 − 118²/5 = 597,2
Коефіцієнт кореляції
r = 154/√(40·597,2) = 0,9964
Відповідь
r = 0,9964
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 3,588
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 105/5 = 21
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17
Лінія регресії
b = −17/10 = −1,7
a = 21 − (−1,7)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 1,7·x
Розв’яжіть щодо x
x = (20 − 26,1)/(−1,7) = 3,588
Відповідь
x = 3,588
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.