Тренування з кількісних методів і інструментів з фіксованим доходом CFA Level I: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 20 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €12 000 під номінальну ставку 6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 7 років.

PV = €12 0006% / 4n = 7

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €10 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 5 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €10 0004,8% / 12N = 60

I = €

3.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €16 000, €18 000, €13 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 16 000CF₂ = 18 000CF₃ = 13 000

NPV = €

4.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €7 000, €9 500, €6 500, €7 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 8 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 9 500CF₃ = 6 500CF₄ = 7 500

MIRR = %

5.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 10 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 4%n = 10

P = €

6.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €1 035 з дохідністю до погашення 4% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 6 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 25 базисних пунктів.

P₀ = €1 035y = 4%D = 6Δy = −25 bp

P = €

7.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €4 000 000. Її WACC 6,73%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 21%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €10 000 000D = €4 000 000WACC = 6,73%r_d = 4,5%T = 21%

r_e = %

8.CAPM і WACCСкладна

У компанії 5 000 000 акцій по €18,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.

β = 0,9r_f = 3%r_m = 7,5%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

9.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 38, 48, 11, 57, 21.

n = 5

s =

10.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 90.

μ = 100σ = 10x = 90

z =

11.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 7 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 7

P =

12.ІмовірністьСкладна

Тест має 9 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 4 правильних відповідей?

n = 9p = 0,4k = 4

P =

13.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,1210. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,1210

z =

14.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

15.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 30 елементів має середнє 76 і стандартне відхилення s = 2,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 30x̄ = 76s = 2,590%t(29) = 1,699

нижня межа =

16.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 8. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 8E = 1,595%

n =

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 117,4 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,4s = 15n = 64

t =

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ > 50 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 12,5. Насправді середнє дорівнює 53,75. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 50μ = 53,75σ = 12,5n = 25α = 0,01

1 − β = %

19.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4.

n = 6x = 4

ŷ =

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 18207 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·7 = 28

Майбутня вартість

FV = 12 000·(1 + 0,015)²⁸ = 12 000·1,517 = €18 206,67

Відповідь

FV = €18 206,67

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 1268 €

Щомісячний платіж

i = 0,004, N = 60

A = 10 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻⁶⁰) = €187,80

Усього відсотків

I = N·A − P = 60·187,8 − 10 000 = €1 267,85

Відповідь

I = €1 267,85

3.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −2971 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 16 000/1,06 = 15 094,34

CF₂/(1 + 0,06)² = 18 000/1,124 = 16 019,94

CF₃/(1 + 0,06)³ = 13 000/1,191 = 10 915,05

Додайте

NPV = €−2 970,67

Відповідь

NPV = €−2 970,67

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

4.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 14,54 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

7 000·1,08³ = 8 817,98

9 500·1,08² = 11 080,80

6 500·1,08¹ = 7 020,00

7 500·1,08⁰ = 7 500,00

TV = 34 418,78

MIRR

MIRR = (34 418,78/20 000)^1/4 − 1 = 14,54%

Відповідь

MIRR = 14,54%

5.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1245 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €35,00, i = 0,02, N = 20

Теперішня вартість купонів

€35,00·(1 − 0,673)/0,02 = €572,30

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,673 = €672,97

Ціна

P = €1 245,27

Відповідь

P = €1 245,27

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

6.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1050 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 6/1,04 = 5,769

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −5,769·(−0,0025) = 1,442%

P ≈ 1035·(1 + 0,01442) = €1 049,93

Відповідь

P = €1 049,93

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

7.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 8 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

Частка боргу у WACC

0,2857·4,5%·(1 − 0,21) = 1,016%

Вартість власного капіталу

r_e = (6,73% − 1,016%)/0,7143 = 8%

Відповідь

r_e = 8%

8.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,845 %

Ринкові вартості

E = 5 000 000·€18,50 = €92 500 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3% + 0,9·4,5% = 7,05%

Ваги

V = €97 400 000, E/V = 0,9497, D/V = 0,05031

WACC

WACC = 0,9497·7,05% + 0,05031·4%·(1 − 0,258) = 6,845%

Відповідь

WACC = 6,845%

9.Описова статистика

Відповідь: s = 18,93

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 175/5 = 35

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 3² + 13² + (−24)² + 22² + (−14)² = 1434

Стандартне відхилення

s = √(1434/4) = 18,93

Відповідь

s = 18,93

10.Описова статистика

Відповідь: z = −1

Стандартизуйте

z = (90 − 100)/10 = −1

Відповідь

z = −1

11.Імовірність

Відповідь: P = 0,7209

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Відповідь

P = 0,7209

12.Імовірність

Відповідь: P = 0,2508

Біноміальна формула

P(X = 4) = 126·0,4⁴·0,6⁵ = 126·0,0256·0,07776 = 0,2508

Відповідь

P = 0,2508

13.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,17

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,1210 = 0,8790

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8790 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,17

Відповідь

z = 1,17

14.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 258,2 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Відповідь

x = 258,22 g

15.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 75,22

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Похибка оцінки

E = 1,699·2,5/√30 = 0,7755

Інтервал

76 ± 0,7755 → [75,22, 76,78]

Відповідь

нижня межа = 75,22

16.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 110

Виразіть n

n = (1,96·8/1,5)² = 109,3

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 110

Відповідь

n = 110

17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,387

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Статистика критерію

t = (117,4 − 120)/1,875 = −1,387

Відповідь

t = −1,387

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 20,44 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 12,5/√25 = 2,5

x̄_c = 50 + 2,326·2,5 = 55,81

z при справжньому середньому

z = (55,81 − 53,75)/2,5 = 0,826

Потужність

потужність = P(Z > 0,826) = 20,44%

1 − β = 20,44%

Відповідь

1 − β = 20,44%

19.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8869

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 590/6 = 98,33

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 292

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1373

Коефіцієнт детермінації

r² = 292²/(70·1373) = 0,8869

Відповідь

r² = 0,8869

Близько 88,69% варіації y пояснюється прямою.

20.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 60,49

Середні

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 438/6 = 73

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 438

Лінія регресії

b = 438/70 = 6,257

a = 73 − 6,257·6 = 35,46

ŷ = 35,46 + 6,257·x

Прогноз

ŷ = 35,46 + 6,257·4 = 60,49

Відповідь

ŷ = 60,49

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income