Ви інвестуєте €20 000 під номінальну ставку 5 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 9 років.
PV = €20 0005% / 4n = 9
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €200 наприкінці кожного місяця протягом 7 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €2002,4% / 12N = 84
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €29 000, €18 000, €16 000, €13 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує сьогодні €200 000. Його грошовий потік становить €24 500 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 9. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €200 000CF1 = €24 500g = 5%n = 9r = 12%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 5%n = 4
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 18 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 5%) продається за €1 127. Емітент може достроково викупити її через 3 років за ціною викупу €1 050. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 5%P = €1 127ціна викупу = €1 050дострокове погашення через 3 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 500 000 акцій по €45,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,3, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.
Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 452 і 560 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 500σ = 40x1 = 452x2 = 560
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 15 елементів має середнє 101 і стандартне відхилення s = 12. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 15x̄ = 101s = 1290%t(14) = 1,761
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 40. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?
σ = 40E = 495%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 25 студентів має середній бал 81,96 і вибіркове стандартне відхилення 12. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 81,96s = 12n = 25
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Вибірка з 49 вимірювань має середнє 200,9. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 5. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.
x̄ = 200,9σ = 5n = 4990%
U =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (7, 20). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(7, 20)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 31279 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 29 000/1,05 = 27 619,05
CF2/(1 + 0,05)2 = 18 000/1,103 = 16 326,53
CF3/(1 + 0,05)3 = 16 000/1,158 = 13 821,40
CF4/(1 + 0,05)4 = 13 000/1,216 = 10 695,13
Додайте
NPV = €8 462,11
Відповідь
NPV = €8 462,11
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −45799 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 982,1 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €22,50, i = 0,025, N = 8
Теперішня вартість купонів
€22,50·(1 − 0,8207)/0,025 = €161,33
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,8207 = €820,75
Ціна
P = €982,07
Відповідь
P = €982,07
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 2,209 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1127 = 50·(1 − (1 + y)−3)/y + 1050/(1 + y)3
Чисельний розв’язок
y = 2%: €1 133,63
y = 3%: €1 102,33
YTC = 2,209%
Відповідь
YTC = 2,209%
Дохідність до погашення 3,997%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,516 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·13% + 0,375·5%·(1 − 0,258) = 9,516%
Відповідь
WACC = 9,516%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,071 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 500 000·€45,00 = €112 500 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 1,3·5% = 10%
Ваги
V = €132 900 000, E/V = 0,8465, D/V = 0,1535
WACC
WACC = 0,8465·10% + 0,1535·5%·(1 − 0,21) = 9,071%
Відповідь
WACC = 9,071%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 16,82
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1
Таблиця нормального розподілу
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
11.Імовірність
Відповідь: N = 792
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Комбінації
C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792
Відповідь
N = 792
12.Імовірність
Відповідь: σY = 23,04
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 26,5, Var(X) = 132,8, σX = 11,52
Лінійна зміна
σY = |−2|·11,52 = 23,04
Відповідь
σY = 23,04
Середнє таки зсувається: E(Y) = −2·26,5 + 4 = −49.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8181
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z-оцінки
z₁ = (452 − 500)/40 = −1,2
z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5
Площа між
P = Φ(1,5) − Φ(−1,2) = 0,9332 − 0,1151 = 0,8181
Відповідь
P = 0,8181
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7389
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Відповідь
P = 0,7389
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 95,54
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Похибка оцінки
E = 1,761·12/√15 = 5,456
Інтервал
101 ± 5,456 → [95,54, 106,5]
Відповідь
нижня межа = 95,54
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 385
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·40/4)² = 384,2
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 385
Відповідь
n = 385
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4
Статистика критерію
t = (81,96 − 75)/2,4 = 2,9
Відповідь
t = 2,9
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: U = 202,1
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Похибка оцінки
E = 1,645·5/√49 = 1,175
Межа інтервалу
U = 200,9 + 1,175 = 202,1
Відповідь
U = 202,1
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,964
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 130/6 = 21,67
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Syy = Σ(y − ȳ)² = 75,33
Коефіцієнт кореляції
r = −35/√(17,5·75,33) = −0,964
Відповідь
r = −0,964
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −5
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 150/6 = 25
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 250
Лінія регресії
b = 250/70 = 3,571
a = 25 − 3,571·7 = 0
ŷ = 0 + 3,571·x
Прогнозоване значення
ŷ = 0 + 3,571·7 = 25
Залишок
e = 20 − 25 = −5
Відповідь
e = −5
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.