Кредитна картка нараховує номінальну ставку 15 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
r = 15%m = 12
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €200 наприкінці кожного місяця протягом 24 років. Рахунок дає 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €2004,2% / 12N = 288
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €40 000, служить 6 років, а його експлуатація коштує €4 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €40 000M = €4 000n = 6r = 12%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €20 000 і приносить €9 500, €6 500, €8 500, €7 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 2,5%n = 4
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 19 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 6%) продається за €1 121. Емітент може достроково викупити її через 3 років за ціною викупу €1 060. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 6%P = €1 121ціна викупу = €1 060дострокове погашення через 3 роки
YTC = %
7.CAPM і WACCСередня
Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €4 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 500 000 і боргом вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу 13%, вартість привілейованого капіталу 7%, вартість боргу до оподаткування 6%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC.
У компанії 4 000 000 акцій по €28,00 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,5, безризикова ставка — 1%, ринкова дохідність — 5%. Знайдіть WACC.
Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Знайдіть z-оцінку z для результату 45.
μ = 60σ = 15x = 45
z =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,3, 0,15
σ =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 8 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,6, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?
n = 8p = 0,6k = 2
P =
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,2206. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,2206
z =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 80 % значень (80-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 80%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 9 елементів має середнє 50,5 і стандартне відхилення s = 3,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 9x̄ = 50,5s = 3,599%t(8) = 3,355
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 17. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 5?
σ = 17E = 599%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 50 деталей має середню довжину 108,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 16 mm. Лінія 2: вибірка з 50 деталей має середнє 114,6 mm, відоме стандартне відхилення 18 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 500 проти H₁: μ < 500 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 15. Насправді середнє дорівнює 495.35. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 500μ = 495,35σ = 15n = 100α = 0,05
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 6
r² =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (5,5, 44). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 5(5,5, 44)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: EAR = 16,08 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка за період
r/m = 0,15/12 = 0,0125
Нарощення за один рік
EAR = (1 + 0,0125)12 − 1 = 1,161 − 1 = 16,08%
Відповідь
EAR = 16,08%
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 99160 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,12−6)/0,12 = 4,111
Ціна придбання, перерахована на рік
40 000/4,111 = 9 729,03
EAC
EAC = 9 729,03 + 4 000 = €13 729,03
Відповідь
EAC = €13 729,03
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 15,12 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
9 500·1,063 = 11 314,65
6 500·1,062 = 7 303,40
8 500·1,061 = 9 010,00
7 500·1,060 = 7 500,00
TV = 35 128,05
MIRR
MIRR = (35 128,05/20 000)1/4 − 1 = 15,12%
Відповідь
MIRR = 15,12%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1132 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, i = 0,0125, N = 8
Теперішня вартість купонів
€30,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €227,04
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,9054 = €905,40
Ціна
P = €1 132,44
Відповідь
P = €1 132,44
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 3,602 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1121 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3
Чисельний розв’язок
y = 3%: €1 139,77
y = 4%: €1 108,84
YTC = 3,602%
Відповідь
YTC = 3,602%
Дохідність до погашення 4,999%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,026 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = (45 − 60)/15 = −1
Відповідь
z = −1
11.Імовірність
Відповідь: σ = 1,054
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,15 = 1,3
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,15 = 2,8
Дисперсія
Var(X) = 2,8 − 1,3² = 1,11
σ = √1,11 = 1,054
Відповідь
σ = 1,054
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,04129
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = 1 − 0,2206 = 0,7794
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,7794 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 0,77
Відповідь
z = 0,77
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 112,6 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Назад до x
x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 балів
Відповідь
x = 112,62 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 3,914
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Похибка оцінки
E = 3,355·3,5/√9 = 3,914
Відповідь
E = 3,914
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 77
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (2,576·17/5)² = 76,71
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 77
Відповідь
n = 77
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −1,791
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(16²/50 + 18²/50) = √11,6 = 3,406
Статистика критерію
z = (108,5 − 114,6)/3,406 = −1,791
Відповідь
z = −1,791
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 92,72 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 500 − 1,645·1,5 = 497,5
z при справжньому середньому
z = (497,5 − 495,35)/1,5 = 1,455
Потужність
потужність = P(Z < 1.455) = 92.72%
1 − β = 92,72%
Відповідь
1 − β = 92,72%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,8957
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 111/6 = 18,5
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 189,5
Коефіцієнт детермінації
r² = −54,5²/(17,5·189,5) = 0,8957
Відповідь
r² = 0,8957
Близько 89,57% варіації y пояснюється прямою.
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = −4,95
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 235/5 = 47
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39
Лінія регресії
b = 39/10 = 3,9
a = 47 − 3,9·5 = 27,5
ŷ = 27,5 + 3,9·x
Прогнозоване значення
ŷ = 27,5 + 3,9·5,5 = 48,95
Залишок
e = 44 − 48,95 = −4,95
Відповідь
e = −4,95
Точка лежить нижче прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.