Ануїтет виплачує €2 000 наприкінці кожного року протягом 20 років. Процентна ставка 7 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €2 000i = 7%n = 20
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви відкладаєте €250 наприкінці кожного місяця протягом 25 років. Рахунок дає 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.
A = €2507,2% / 12N = 300
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Верстат коштує сьогодні €20 000, служить 8 років, а його експлуатація коштує €1 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €20 000M = €1 000n = 8r = 12%
EAC = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €25 000 і приносить €14 500, €18 000, €13 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 18 000CF3 = 13 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 6% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 2%YTM = 6%n = 7
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 7% погашається через 5 років і продається за €940. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 7%n = 5P = €940
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Вартість власного капіталу — 12%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 25,8%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,2 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1. Ставка податку 25%, безризикова ставка 1,5%, ринкова премія за ризик 6%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 50?
μ = 70σ = 20x = 50
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,05, 0,25, 0,35, 0,35
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 9 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?
n = 9p = 0,4k = 3
P =
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 120 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,3 mm; Y незалежна й нормальна із середнім 80 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,4 mm. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 199,5 mm. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,5 mm
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 30 елементів має середнє 113 і стандартне відхилення s = 7,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 30x̄ = 113s = 7,590%t(29) = 1,699
E =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 7 ділянок, середній урожай 74 kg, стандартне відхилення 8 kg. Група ділянок 2: 5 ділянок, середнє 70 kg, стандартне відхилення 1,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 100 деталей має середню довжину 131 mm, відоме стандартне відхилення лінії 9 mm. Лінія 2: вибірка з 50 деталей має середнє 129,1 mm, відоме стандартне відхилення 5 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 80 проти H₁: μ < 80 виконують на рівні α = 0.10 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 7.5. Насправді середнє дорівнює 77. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 80μ = 77σ = 7,5n = 25α = 0,10
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 42Σy = 164Σx² = 364Σy² = 5428Σxy = 1404
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 19?
n = 5ŷ = 19
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 21188 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2584)/0,07 = 10,59
Теперішня вартість
PV = 2 000·10,59 = €21 188,03
Відповідь
PV = €21 188,03
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 209050 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,12−8)/0,12 = 4,968
Ціна придбання, перерахована на рік
20 000/4,968 = 4 026,06
EAC
EAC = 4 026,06 + 1 000 = €5 026,06
Відповідь
EAC = €5 026,06
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 37,71 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(35%) = 901,03
NPV(40%) = −721,57
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
IRR ≈ 35 + 5·901,03/(901,03 − (−721,57)) = 37,78%
точно: NPV(37,71%) = 0 → IRR = 37,71%
Відповідь
IRR = 37,71%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 774,1 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €10,00, i = 0,03, N = 14
Теперішня вартість купонів
€10,00·(1 − 0,6611)/0,03 = €112,96
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,6611 = €661,12
Ціна
P = €774,08
Відповідь
P = €774,08
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 8,524 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€940 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Чисельний розв’язок
P(8%) = €960,07, P(9%) = €922,21
YTM = 8,524%
Відповідь
YTM = 8,524%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 11,03 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,2/(1 + 0,75·0,5) = 0,8727
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,8727·(1 + 0,75·1) = 1,527
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1,5% + 1,527·6% = 10,66%
Відповідь
re = 10,66%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 13,81
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 3,2
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Стандартизуйте
z = (199,5 − 200)/0,5 = −1
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Відповідь
P = 0,8413
14.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7389
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл різниці
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Відповідь
P = 0,7389
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 2,326
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Похибка оцінки
E = 1,699·7,5/√30 = 2,326
Відповідь
E = 2,326
16.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 10,65 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Об’єднане стандартне відхилення
sp² = (6·8² + 4·1,5²)/10 = 39,3
sp = 6,269
Похибка оцінки
E = 1,812·6,269·√(1/7 + 1/5) = 6,651
Інтервал
4 ± 6,651 → [−2,651, 10,65]
Відповідь
верхня межа = 10,65 kg
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = 1,66
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(9²/100 + 5²/50) = √1,31 = 1,145
Статистика критерію
z = (131 − 129,1)/1,145 = 1,66
Відповідь
z = 1,66
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 76,36 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 80 − 1,282·1,5 = 78,08
z при справжньому середньому
z = (78,08 − 77)/1,5 = 0,718
Потужність
потужність = P(Z < 0.718) = 76.36%
1 − β = 76,36%
Відповідь
1 − β = 76,36%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9952
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 1404 − 42·164/6 = 256
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 5428 − 164²/6 = 945,3
Коефіцієнт кореляції
r = 256/√(70·945,3) = 0,9952
Відповідь
r = 0,9952
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 4,308
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 112/5 = 22,4
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Лінія регресії
b = −26/10 = −2,6
a = 22,4 − (−2,6)·3 = 30,2
ŷ = 30,2 − 2,6·x
Розв’яжіть щодо x
x = (19 − 30,2)/(−2,6) = 4,308
Відповідь
x = 4,308
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.