Через 7 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €10 0006% / 12n = 7
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 12 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 6 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 12? Знайдіть FV.
A = €6 000i = 6%n = 12
FV = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €10 000, €7 000, €8 000, €11 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €50 000 і приносить €21 500, €19 000, €37 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −50 000CF1 = 21 500CF2 = 19 000CF3 = 37 000
IRR = %
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 погашається через 4 років і виплачує річні купони. Вона продається за €1 056, коли дохідність до погашення становить 2,5%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.
F = €1 000n = 4P = €1 056YTM = 2,5%
c = %
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 6%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 2%n = 5YTM = 6%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,5. Вартість власного капіталу 13%, вартість боргу до оподаткування 3,5%, а ставка податку 21%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,5re = 13%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
Акції компанії мають бету 1 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1. Ставка податку 28%, безризикова ставка 3%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 65?
μ = 50σ = 12x = 65
P =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 5 червоних і 7 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
5 / 7
P =
12.ІмовірністьСкладна
Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,25, незалежно. Яка ймовірність P рівно 1 правильних відповідей?
n = 7p = 0,25k = 1
P =
13.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 120 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,3 mm; Y незалежна й нормальна із середнім 80 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,4 mm. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 200,3 mm. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,3 mm
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).
μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 10 елементів має середнє 15 і стандартне відхилення s = 18. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 10x̄ = 15s = 1890%t(9) = 1,833
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 19. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 4?
σ = 19E = 490%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 36 студентів має середній бал 198,8 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,8s = 8n = 36
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 0,5? Стандартне відхилення — 15. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 15E = 0,590%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7,5.
n = 6x = 7,5
ŷ =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 6577 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·7 = 84
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,52 = €6 577,35
Відповідь
PV = €6 577,35
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 107293 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,06)12 − 1)/0,06 = 16,87
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 6 000·16,87·1,06 = €107 292,83
Відповідь
FV = €107 292,83
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −2806 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 10 000/1,12 = 8 928,57
CF2/(1 + 0,12)2 = 7 000/1,254 = 5 580,36
CF3/(1 + 0,12)3 = 8 000/1,405 = 5 694,24
CF4/(1 + 0,12)4 = 11 000/1,574 = 6 990,70
Додайте
NPV = €−2 806,13
Відповідь
NPV = €−2 806,13
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 22,91 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(20%) = 2 523,15
NPV(25%) = −1 696,00
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Теперішня вартість номіналу
1000·(1 + 0,025)−4 = €905,95
Купон
C = (1056 − 905,95)/3,762 = €39,89
Купонна ставка
c = 39,89/1000 = 3,989%
Відповідь
c = 3,989%
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 4,786 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 20/1,06 = 18,87, t·PV = 18,87
t = 2: 20/1,124 = 17,80, t·PV = 35,60
t = 3: 20/1,191 = 16,79, t·PV = 50,38
t = 4: 20/1,262 = 15,84, t·PV = 63,37
t = 5: 1020/1,338 = 762,20, t·PV = 3 811,02
Дюрація
P = 831,51
D = 3 979,23/831,51 = 4,786
Відповідь
D = 4,786 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 9,588 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1/(1 + 0,72·0,4) = 0,7764
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,7764·(1 + 0,72·1) = 1,335
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3% + 1,335·4,5% = 9,009%
Відповідь
re = 9,009%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 19,03
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1,25
Таблиця нормального розподілу
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Відповідь
P = 0,8944
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,1515
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515
Відповідь
P = 0,1515
12.Імовірність
Відповідь: P = 0,3115
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Біноміальна формула
P(X = 1) = 7·0,251·0,756 = 7·0,25·0,178 = 0,3115
Відповідь
P = 0,3115
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,2743
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Стандартизуйте
z = (200,3 − 200)/0,5 = 0,6
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
Відповідь
P = 0,2743
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 182,7 cm
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Назад до x
x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm
Відповідь
x = 182,72 cm
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 4,566
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Похибка оцінки
E = 1,833·18/√10 = 10,43
Інтервал
15 ± 10,43 → [4,566, 25,43]
Відповідь
нижня межа = 4,566
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 62
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,645·19/4)² = 61,05
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 62
Відповідь
n = 62
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −0,9
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Статистика критерію
t = (198,8 − 200)/1,333 = −0,9
Відповідь
t = −0,9
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 2436
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,645·15/0,5)² = 2435
Округліть угору
n = 2436
Відповідь
n = 2436
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9952
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 3565 − 35·471/5 = 268
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 46181 − 471²/5 = 1813
Коефіцієнт кореляції
r = 268/√(40·1813) = 0,9952
Відповідь
r = 0,9952
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 74,69
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 395/6 = 65,83
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77,5
Лінія регресії
b = 77,5/17,5 = 4,429
a = 65,83 − 4,429·5,5 = 41,48
ŷ = 41,48 + 4,429·x
Прогноз
ŷ = 41,48 + 4,429·7,5 = 74,69
Відповідь
ŷ = 74,69
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.