Ануїтет виплачує €8 000 наприкінці кожного року протягом 20 років. Процентна ставка 6 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €8 000i = 6%n = 20
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €12 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 4 років. Ставка — 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €12 0004,8% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €13 000, €26 000, €27 000, €21 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує €40 000 і приносить €19 500, €12 500, €16 000, €21 000 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 3% і погашається через 14 років. Її дохідність до погашення змінюється з 5,5% до 4,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 3%n = 14y1 = 5,5%y2 = 4,5%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 4 років і продається за €970. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 8%n = 4P = €970
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €12 000 000 і борг вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу — 10%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
У компанії 4 000 000 акцій по €40,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €980 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 30%. Бета акції — 1,2, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 10,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень більша за 36?
μ = 60σ = 12x = 36
P =
11.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,1, 0,35
Var(X) =
12.ІмовірністьСкладна
Участь у грі коштує €10. Ви виграєте €50 з імовірністю 0,3 і €100 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.
ставка = €10€50: p = 0,3€100: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальний розподілСередня
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,7109. Знайдіть z до двох знаків після коми.
A = 0,7109
z =
14.Нормальний розподілСкладна
результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 15% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 100 балівσ = 15 балів15%
x = балів
15.Довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 10 елементів має середнє 53,5 і стандартне відхилення s = 12,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.
n = 10x̄ = 53,5s = 12,599%t(9) = 3,25
нижня межа =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 20. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 20E = 195%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Вибірка з 16 студентів має середній бал 103 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 103s = 5n = 16
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
У випробуванні одужують 54 з 120 пацієнтів, які отримували лікування A, і 61 з 120 пацієнтів, які отримували лікування B. Використовуючи об’єднану частку, знайдіть статистику критерію z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 54n₁ = 120x₂ = 61n₂ = 120
z =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
n = 6Σx = 21Σy = 113Σx² = 91Σy² = 2209Σxy = 361
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (4,5, 26). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
n = 6(4,5, 26)
e =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 91759 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3118)/0,06 = 11,47
Теперішня вартість
PV = 8 000·11,47 = €91 759,37
Відповідь
PV = €91 759,37
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 275,3 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·4 = 48
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,8256
A = 12 000·0,004/(1 − 0,8256) = €275,27
Відповідь
A = €275,27
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = 723,8 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 13 000/1,15 = 11 304,35
CF2/(1 + 0,15)2 = 26 000/1,322 = 19 659,74
CF3/(1 + 0,15)3 = 27 000/1,521 = 17 752,94
CF4/(1 + 0,15)4 = 21 000/1,749 = 12 006,82
Додайте
NPV = €723,84
Відповідь
NPV = €723,84
NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 17,11 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Кінцева вартість надходжень
19 500·1,063 = 23 224,81
12 500·1,062 = 14 045,00
16 000·1,061 = 16 960,00
21 000·1,060 = 21 000,00
TV = 75 229,81
MIRR
MIRR = (75 229,81/40 000)1/4 − 1 = 17,11%
Відповідь
MIRR = 17,11%
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = 86,4 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€970 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Чисельний розв’язок
P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €967,60
YTM = 8,924%
Відповідь
YTM = 8,924%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,3 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €18 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·10% + 0,3333·7%·(1 − 0,3) = 8,3%
Відповідь
WACC = 8,3%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,83 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Відповідь
P = 0,9772
11.Імовірність
Відповідь: Var(X) = 1,447
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,1 + 4·0,35 = 2,55
Середнє квадратів
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,1 + 16·0,35 = 7,95
Дисперсія
Var(X) = 7,95 − 2,55² = 1,447
Відповідь
Var(X) = 1,447
12.Імовірність
Відповідь: E(G) = 7 €
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Чисті результати
G: 40 (p = 0,3), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,68)
Математичне сподівання
E(G) = 40·0,3 + 90·0,02 − 10·0,68 = 7 €
Відповідь
E(G) = 7 €
Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: z = 1,06
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч від z
Φ(z) = (1 + 0,7109)/2 = 0,8554
Читайте таблицю z у зворотному напрямку
Знайдіть 0,8554 усередині таблиці й зчитайте z.
z = 1,06
Відповідь
z = 1,06
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 84,4 балів
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,15
z з таблиці
z ≈ −1,04
Назад до початкових одиниць
x = 100 − 1,04·15 = 84,4 балів
Відповідь
x = 84,4 балів
15.Довірчі інтервали
Відповідь: нижня межа = 40,65
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Критичне значення
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Похибка оцінки
E = 3,25·12,5/√10 = 12,85
Інтервал
53,5 ± 12,85 → [40,65, 66,35]
Відповідь
нижня межа = 40,65
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 1537
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·20/1)² = 1537
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 1537
Відповідь
n = 1537
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = 2,4
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Стандартна похибка
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Статистика критерію
t = (103 − 100)/1,25 = 2,4
Відповідь
t = 2,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −0,9045
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Вибіркові частки
p̂₁ = 54/120 = 0,45
p̂₂ = 61/120 = 0,5083
p̂ = 115/240 = 0,4792
Стандартна похибка за H₀
SE = √(0,4792·0,5208·(1/120 + 1/120)) = 0,06449
Статистика критерію
z = (0,45 − 0,5083)/0,06449 = −0,9045
Відповідь
z = −0,9045
|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = −0,9173
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Центровані суми
Sxy = 361 − 21·113/6 = −34,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2209 − 113²/6 = 80,83
Коефіцієнт кореляції
r = −34,5/√(17,5·80,83) = −0,9173
Відповідь
r = −0,9173
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: e = 4,862
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 139/6 = 23,17
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35,5
Лінія регресії
b = −35,5/17,5 = −2,029
a = 23,17 − (−2,029)·3,5 = 30,27
ŷ = 30,27 − 2,029·x
Прогнозоване значення
ŷ = 30,27 + (−2,029)·4,5 = 21,14
Залишок
e = 26 − 21,14 = 4,862
Відповідь
e = 4,862
Точка лежить вище прямої.
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.