Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €20 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 3 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.
C1 = €20 000g = 1%r = 3%
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви позичаєте €12 000 під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €525. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.
P = €12 000A = €5253,6% / 12
N = платежів
3.NPV і IRRСередня
Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €12 000, €9 000, €12 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Проєкт коштує сьогодні €80 000. Його грошовий потік становить €9 000 наприкінці року 1 і зростає на 2 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 10. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €80 000CF1 = €9 000g = 2%n = 10r = 8%
NPV = €
5.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 14 років. Її дохідність до погашення змінюється з 8% до 7%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 6%n = 14y1 = 8%y2 = 7%
ΔP = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 7 років і продається за €1 125. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 7P = €1 125
YTM = %
7.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,75. Вартість власного капіталу 8%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 30%. Знайдіть WACC.
D/E = 0,75re = 8%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM і WACCСкладна
У компанії 2 000 000 акцій по €31,00 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25,8%. Бета акції — 1,8, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
Маси мішки цементу незалежні та нормальні із середнім 25 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,5 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 8 з них перевищує 198,6 kg. Округліть z до двох знаків після коми.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8> 198,6 kg
P =
14.Нормальний розподілСкладна
Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).
μ = 178σ = 7P = 95%
x = cm
15.Довірчі інтервалиСередня
90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 10,7. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за 144 спостереженнями?
90%n₁ = 36E₁ = 10,795%n₂ = 144
E₂ =
16.Довірчі інтервалиСкладна
Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 34. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?
σ = 34E = 195%
n =
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
7 працівників проходять тест на швидкість друку до й після навчального курсу. Для кожного записують різницю d = після − до (слів за хвилину). Середня різниця −4,66, стандартне відхилення різниць 8,8. Знайдіть статистику парного критерію t для H₀: μd = 0.
n = 7d̄ = −4,66sd = 8,8
t =
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 50 проти H₁: μ < 50 виконують на рівні α = 0.05 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 10. Насправді середнє дорівнює 46.4. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 50μ = 46,4σ = 10n = 25α = 0,05
1 − β = %
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 5
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 63?
n = 5ŷ = 63
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 1 × 10⁶ €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Перетворіть формулу ануїтету
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,003/525 = 0,9314
Розв’язання за допомогою логарифмів
N = −ln(0,9314)/ln(1,003) = 23,71
Округлення вгору до повних платежів
Після 23 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.
N = 24
Відповідь
N = 24 платежів
3.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −2637 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість кожного потоку
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 12 000/1,1 = 10 909,09
CF2/(1 + 0,1)2 = 9 000/1,21 = 7 438,02
CF3/(1 + 0,1)3 = 12 000/1,331 = 9 015,78
Додайте
NPV = €−2 637,11
Відповідь
NPV = €−2 637,11
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −14695 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість ануїтету, що зростає
((1,02)/(1,08))10 = 0,5646
PV = 9 000/(0,08 − 0,02)·(1 − 0,5646) = 65 305,46
NPV
NPV = 65 305,46 − 80 000 = −€14 694,54
Відповідь
NPV = −€14 694,54
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = 77,43 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 125 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Чисельний розв’язок
P(2%) = €1 194,16, P(3%) = €1 124,61
YTM = 2,994%
Відповідь
YTM = 2,994%
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 5,921 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·8% + 0,4286·4,5%·(1 − 0,3) = 5,921%
Відповідь
WACC = 5,921%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,252 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −0,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Відповідь
P = 0,3085
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,2059
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059
Відповідь
P = 0,2059
12.Імовірність
Відповідь: σY = 0,7314
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 3,4, Var(X) = 2,14, σX = 1,463
Лінійна зміна
σY = |0,5|·1,463 = 0,7314
Відповідь
σY = 0,7314
Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·3,4 + 20 = 21,7.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,8389
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μT = 200 kg, σT = 0,5·√8 = 1,414 kg
Стандартизуйте
z = (198,6 − 200)/1,414 = −0,99
Імовірність
P = 1 − Φ(−0,99) = 0,8389
Відповідь
P = 0,8389
14.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 189,5 cm
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Назад до x
x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm
Відповідь
x = 189,51 cm
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E₂ = 6,374
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Відношення похибок
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(36/144) = 0,5957
Нова похибка
E₂ = 10,7·0,5957 = 6,374
Відповідь
E₂ = 6,374
16.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 4441
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Виразіть n
n = (1,96·34/1)² = 4441
Округліть угору
Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.
n = 4441
Відповідь
n = 4441
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: t = −1,401
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартна похибка середньої різниці
SE = 8,8/√7 = 3,326
Статистика критерію
t = −4,66/3,326 = −1,401
Відповідь
t = −1,401
При df = 6 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,447; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 56,16 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 50 − 1,645·2 = 46,71
z при справжньому середньому
z = (46,71 − 46,4)/2 = 0,155
Потужність
потужність = P(Z < 0.155) = 56.16%
1 − β = 56,16%
Відповідь
1 − β = 56,16%
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9887
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 469/5 = 93,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186
Syy = Σ(y − ȳ)² = 884,8
Коефіцієнт кореляції
r = 186/√(40·884,8) = 0,9887
Відповідь
r = 0,9887
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 14,96
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 394/5 = 78,8
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208
Лінія регресії
b = 208/40 = 5,2
a = 78,8 − 5,2·18 = −14,8
ŷ = −14,8 + 5,2·x
Розв’яжіть щодо x
x = (63 − (−14,8))/5,2 = 14,96
Відповідь
x = 14,96
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.