Ви інвестуєте €5 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 2 років.
PV = €5 0002% / 4n = 2
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви хочете мати €50 000 через 4 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.
FV = €50 0007,2% / 12N = 48
A = €
3.NPV і IRRСередня
Проєкт коштує сьогодні €100 000. Він приносить €6 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.NPV і IRRСкладна
Проєкт A коштує €10 000 і приносить €6 000, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €12 000 і приносить €3 000, €5 500, €6 500. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 2,5% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 6%YTM = 2,5%n = 9
P = €
6.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 5% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 7%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.
F = €1 000купон = 5%n = 5YTM = 7%
D = роки
7.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €10 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.
У компанії 2 000 000 акцій по €29,50 за штуку та 40 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 3%, ставка податку — 25%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 1,5%, ринкова дохідність — 7,5%. Знайдіть WACC.
Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 12. Яка частка P значень менша за 85,6?
μ = 100σ = 12x = 85,6
P =
11.ІмовірністьСередня
У мішечку 6 червоних і 4 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?
6 / 4
P =
12.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 5X − 3. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,35, 0,15, 0,2Y = 5X − 3
σY =
13.Нормальний розподілСередня
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 45,5 і 73,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
μ = 65σ = 10x1 = 45,5x2 = 73,5
P =
14.Нормальний розподілСкладна
строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 5% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.
μ = 500 hσ = 40 h5%
x = h
15.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 122,5 h, відоме стандартне відхилення 19 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 110,5 h, відоме стандартне відхилення 8 h. Знайдіть граничну похибку E 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Діаметри 25 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 10,7 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 24 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 12,401 і 2,5 % — вище від 39,364.
n = 25s = 10,7 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 30 деталей має середню довжину 112 mm, відоме стандартне відхилення лінії 16 mm. Лінія 2: вибірка з 50 деталей має середнє 118,9 mm, відоме стандартне відхилення 5 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 0,5? Стандартне відхилення — 12. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.
σ = 12E = 0,595%
n =
19.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.
n = 6
r =
20.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 106?
n = 5ŷ = 106
x =
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 5204 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = r/m = 0,02/4 = 0,005
N = m·n = 4·2 = 8
Майбутня вартість
FV = 5 000·(1 + 0,005)8 = 5 000·1,041 = €5 203,54
Відповідь
FV = €5 203,54
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: A = 902 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Вартість грошових потоків
PV = 6 000/(0,09 − 0,02) = 85 714,29
NPV
NPV = 85 714,29 − 100 000 = −€14 285,71
Відповідь
NPV = −€14 285,71
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.
4.NPV і IRR
Відповідь: r* = 4,58 %
Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.
Різниця грошових потоків
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 6 000 = −3 000
ΔCF2 = 5 500 − 4 000 = 1 500
ΔCF3 = 6 500 − 2 500 = 4 000
IRR різниці
NPVΔ(4%) = 58,20
NPVΔ(5%) = −41,25
r* = 4,58%
Відповідь
r* = 4,58%
Перевірка: при 4,58% обидві NPV дорівнюють €1 580,22.
5.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 1281 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €30,00, i = 0,0125, N = 18
Теперішня вартість купонів
€30,00·(1 − 0,7996)/0,0125 = €480,89
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,7996 = €799,63
Ціна
P = €1 280,52
Відповідь
P = €1 280,52
Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.
6.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: D = 4,523 роки
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Теперішня вартість кожного потоку
t = 1: 50/1,07 = 46,73, t·PV = 46,73
t = 2: 50/1,145 = 43,67, t·PV = 87,34
t = 3: 50/1,225 = 40,81, t·PV = 122,44
t = 4: 50/1,311 = 38,14, t·PV = 152,58
t = 5: 1050/1,403 = 748,64, t·PV = 3 743,18
Дюрація
P = 918,00
D = 4 152,27/918,00 = 4,523
Відповідь
D = 4,523 роки
7.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,042 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·8% + 0,1667·3%·(1 − 0,25) = 7,042%
Відповідь
WACC = 7,042%
8.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 3,948 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ринкові вартості
E = 2 000 000·€29,50 = €59 000 000
D = 40 000·€1 000 = €40 000 000
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1,5% + 0,6·6% = 5,1%
Ваги
V = €99 000 000, E/V = 0,596, D/V = 0,404
WACC
WACC = 0,596·5,1% + 0,404·3%·(1 − 0,25) = 3,948%
Відповідь
WACC = 3,948%
9.Описова статистика
Відповідь: s = 18
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблиця нормального розподілу
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Відповідь
P = 0,1151
11.Імовірність
Відповідь: P = 0,3333
Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Перше і друге витягування
P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333
Відповідь
P = 0,3333
12.Імовірність
Відповідь: σY = 5,449
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 1,25, Var(X) = 1,188, σX = 1,09
Лінійна зміна
σY = |5|·1,09 = 5,449
Відповідь
σY = 5,449
Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·1,25 − 3 = 3,25.
13.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,7767
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Площа ліворуч
Φ(z) = 0,05
z з таблиці
z ≈ −1,64
Назад до початкових одиниць
x = 500 − 1,64·40 = 434 h
Відповідь
x = 434 h
15.Довірчі інтервали
Відповідь: E = 4,067 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 122,5 − 110,5 = 12
Стандартна похибка
SE = √(19²/80 + 8²/40) = 2,472
Похибка оцінки
E = 1,645·2,472 = 4,067
Відповідь
E = 4,067 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
16.Довірчі інтервали
Відповідь: σ = 14,89 µm
Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.
Сума квадратів
(n − 1)s² = 24·10,7² = 2748
Межі для σ²
2748/39,364 = 69,8
2748/12,401 = 221,6
Межа для σ
σ = √221,6 = 14,89 µm
Відповідь
σ = 14,89 µm
95 % інтервал для σ: [8,355, 14,89] µm.
17.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −2,296
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(16²/30 + 5²/50) = √9,033 = 3,006
Статистика критерію
z = (112 − 118,9)/3,006 = −2,296
Відповідь
z = −2,296
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
18.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: n = 2213
Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).
Виразіть n
n = (1,96·12/0,5)² = 2213
Округліть угору
n = 2213
Відповідь
n = 2213
19.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r = 0,9728
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 348/6 = 58
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82
Syy = Σ(y − ȳ)² = 406
Коефіцієнт кореляції
r = 82/√(17,5·406) = 0,9728
Відповідь
r = 0,9728
20.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: x = 20,43
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 578/5 = 115,6
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 552
Лінія регресії
b = 552/90 = 6,133
a = 115,6 − 6,133·22 = −19,33
ŷ = −19,33 + 6,133·x
Розв’яжіть щодо x
x = (106 − (−19,33))/6,133 = 20,43
Відповідь
x = 20,43
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. CFA® and Chartered Financial Analyst® — торговельні марки CFA Institute; ця організація не пов’язана з ExamProblems, не підтримує його і не ручається за його точність.